En matemáticas, especificamente en álxebra abstracta, un elemento primo dun anel conmutativo é un obxecto que satisfai certas propiedades similares aos números primos dos enteiros e aos polinomios irredutíbeis. Débese ter coidado de distinguir os elementos primos dos elementos irreducíbeis, un concepto que é o mesmo nos UFD mas non o mesmo en xeral.
Definición Un elemento dun anel conmutativo dise que é primo se non é o elemento cero ou unha unidade e sempre que divide para algúns e en , entón divide ou divide . Con esta definición, o lema de Euclides é a afirmación de que os números primos son elementos primos no anel de enteiros. De forma equivalente, un elemento é primo se, e só se, o ideal principal xerado por é un ideal primo distinto de cero. (Teña en conta que nun dominio de integridade, o ideal é un ideal primo, mais é unha excepción na definición de "elemento primo".)
Ser primo está relacionado con en que anel se considera que está un elemento. Por exemplo, 2 é un elemento primo en mais non está en , o anel dos enteiros gaussianos, xa que e 2 non divide ningún factor no lado dereito da igualdade.
Conexión cos ideais primos Un ideal no anel (con unidade) é un primo se o anel factor é un dominio de integridade.
Nun dominio de integridade, un ideal principal distinto de cero é primo se e só se é xerado por un elemento primo.
Un elemento nun anel é un elemento primo se xera un ideal primo. Se é conmutativo, isto equivale a dicir que para todos os , se divide a , daquela divide ou divide .
Elementos irreducíbeis
Os elementos primos non deben confundirse cos elementos irreducíbeis. Nun dominio de integridade, todo primo é irreducíbel mais o recíproco non é certo en xeral. No entanto, en dominios de factorización única, ou máis xeralmente en dominios GCD, os primos e os irreducíbeis son iguais.
Exemplos Os seguintes son exemplos de elementos primos en aneis:
Os enteiros , , , , , ... no anel de enteiros os números complexos , e no anel de enteiros gaussianos os polinomios e en , o anel de polinomios sobre . 2 no anel cociente é primo mais non irreducíbel no anel No anel de pares de enteiros, é primo mais non irreducíbel (temos ). No anel dos enteiros alxébricos o elemento é irreducíbel mais non primo (pois 3 divide e 3 non divide ningún factor do lado dereito da igualdade). Notas
Véxase tamén
Bibliografía Section III.3 of
Outros artigos Ideal primo. Anel (álxebra). Ligazóns externas Prime element MathWorld. Prime element PlanetMath.
Categoría:Teoría de aneis