En matemática, particularmente en álxebra linear, unha combinación linear é unha expresión matemática que consiste na suma entre pares de elementos de determinados conxuntos multiplicados entre si.
En particular, a combinación linear dun sistema de vectores trátase dun vector da forma
cos elementos dun corpo. A definición dá lugar a outras definicións e ferramentas importantes, como son os conceptos de independencia linear e base dun espazo vectorial.
Definición Dados dous conxuntos calquera A e B, defínese como combinación linear toda expresión da forma
Resulta de especial interese a definición de combinación linear de vectores con respecto a un conxunto de escalares.
Espazos vectoriais Dado un espazo vectorial V sobre un corpo e un conxunto de vectores en V, é dicir, , dise que un vector é combinación linear de A se .
En termos informais, dise que é combinación linear de vectores de se se poden expresar como unha suma de produtos por escalar dunha cantidade finita de elementos de . Neste caso, tamén se di que depende linearmente dos vectores de .
Exemplos miniatura|Combinación linear de dous vectores no espazo. A terna ordenada (20, 12, 37) é unha combinación linear de (1, 3, 5) e (6, 2, 9): En xeral, dado un vector v nun espazo vectorial, todo múltiplo seu é combinación linear. Para o caso particular , os seus múltiplos son vectores no plano coa mesma dirección, é dicir, paralelos. Dado , dicir que v é combinación linear doutros dous vectores non paralelos equivale a afirmar que o tres vectores son coplanarios, é dicir, que se atopan nun mesmo plano. Na ecuación dise que é combinación linear de e de porque se pode escribir sen máis que despexar . Do mesmo xeito, despexando oportunamente cada unha destas variables poderíase expresar como combinación linear das outras dúas.
Espazo xerado Dado un conxunto de vectores A do espazo vectorial V, finito ou infinito, chámase espazo xerado, denotado como , ao conxunto:
onde é o corpo sobre o cal está definido V. En termos informais, o espazo xerado a partir de A é o conxunto de todas as combinacións lineares que poden formarse cos vectores de A.
Notas
Véxase tamén Outros artigos Independencia linear Base (álxebra) Sistema de coordenadas cartesianas Produto escalar Produto vectorial Produto mixto Produto tensorial Ligazóns externas Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
Categoría:Álxebra lineal