A distribución khi cadrado (χ²), chamada tamén distribución de Pearson é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro que representa os graos de liberdade da variable aleatoria:
Onde son variables aleatorias normais independentes de media cero e varianza un. Se a variable aleatoria segue esta distribución represéntase habitualmente .
Propiedades Función de densidade A súa función de densidade é:
onde é a función gamma.
Demostración A función densidade de se Z é tipo N(0,1) vén dada por
Despexando e tendo en conta as contribucións positivas e negativas de z
A función distribución de vén dada pola súa convolución
Aplicando a transformada de Laplace
Aplicando a antitransformada obtense f(x;k)
Función de distribución A súa función de distribución é
onde é a función gamma incompleta.
O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k e 2k.
Relación con outras distribucións A distribución χ² é un caso especial da distribución gamma. De feito, Como consecuencia, cando , a distribución χ² é unha distribución exponencial de media .
Se k é suficientemente grande, como consecuencia do teorema central do límite, pode aproximarse por unha distribución normal:
Aplicacións A distribución χ² ten moitas aplicacións en inferencia estatística. A máis coñecida é a denominada proba χ², empregada como proba de independencia e como proba da bondade do axuste e na estimación de varianzas. Tamén aparece no problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída e no problema de estimar a pendente dunha recta de regresión linear, a través do seu papel na distribución t de Student.
Aparece tamén en todos os problemas da análise da varianza pola súa relación coa distribución F de Snedecor, que é a distribución do cociente de dúas variables aleatorias independentes con distribución χ².
Véxase tamén Outros artigos Táboa de continxencia Coeficiente de continxencia Coeficiente fi Jean-Paul Benzécri Ligazóns externas Cálculo da probabilidade dunha distribución khi cadrado con R (linguaxe de programación)
Categoría:Distribucións continuas