En matemáticas, e en particular na análise funcional, a transformada de Laplace dunha función f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a función F(s), definida por:

As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.

A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace.

Notación en Enxeñaría/Física Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, espreme iso da forma seguinte:

Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é unha constante que depende do comportamento de crecemento de f(t).

A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en enxeñaría eléctrica.

Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función.

Propiedades

Linearidade

Derivada

Integral

Composición Amortización

Atraso

Nota: é a función de etapa de Heaviside. Valor Final

Convolución

Transformada de Laplace dunha función de período p

Algunhas transformadas usuais

Potencia n

Exponencial

Seno

Coseno

Seno hiperbólico

Coseno hiperbólico

Demostracción

Logaritmo natural

Raíz n

Función de Besel do primeiro tipo

Función de Besel modificada do primeiro tipo

Función erro

Outras transformadas comúns Transformada de Laplace Función no dominio Tempo , impulso unitario , paso unitario

Categoría:Transformadas Categoría:Funcións