Un número transcendente, tamén número transcendental, é un tipo de número irracional que non é raíz de ningún polinomio non nulo con coeficientes enteiros.
Neste sentido, número transcendente é antónimo de número alxébrico. A definición non provén dunha simple relación alxébrica, senón que se define como unha propiedade fundamental das matemáticas. Os números transcendentes máis coñecidos son π e e.
En xeral, se temos dous corpos e de forma que o segundo é extensión do primeiro, diremos que é transcendente sobre se non existe ningún polinomio do que sexa raíz ().
O conxunto de números alxébricos é numerable, mentres que o conxunto de números reais é non numerable; polo tanto, o conxunto de números transcendentes é tamén non numerable. Non obstante, existen moi poucos números transcendentes coñecidos, e demostrar que un número é transcendente pode ser extremadamente difícil. Por exemplo, aínda non se sabe se a constante de Euler-Mascheroni () o é, sendo
, cando . De feito, nin sequera se sabe se é racional ou irracional.
A propiedade de normalidade dun número (a súa secuencia infinita de díxitos distribúese uniformemente) pode contribuír a demostrar se é transcendente ou non.
Números demostrados como transcendentais Números demostrados como transcendentais:
(polo teorema de Lindemann-Weierstrass). se é alxébrico e distinto de cero (polo teorema de Lindemann–Weierstrass), en particular o número e. onde é un enteiro positivo; en particular a constante de Gelfond (polo teorema de Gelfond-Schneider). Combinacións alxébricas de e como e (deducido da súa independencia alxébrica). onde é alxébrica pero non 0 nin 1, e é alxébrica irracional, en particular a constante de Gelfond–Schneider (polo Teorema de Gelfond-Schneider). O logaritmo natural se é alxébrica e non é igual a 0 ou 1, para calquera rama da función logarítmica (polo teorema de Lindemann-Weierstrass). se e son enteiros positivos non as dúas potencias do mesmo número enteiro, e non é igual a 1 (polo teorema de Gelfond-Schneider). Todos os números da forma son transcendentais, onde son alxébricos para todos os e son alxébricos distintos de cero para todos os (polo teorema de Baker).
As funcións trigonométricas e os seus homólogos hiperbólicos, para calquera número alxébrico distinto de cero , expresado en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass). Resultados distintos de cero das funcións trigonométricas inversas e as súas contrapartes hiperbólicas, para calquera número alxébrico (polo teorema de Lindemann-Weierstrass). , para racional tal que . O punto fixo da función coseno (tamén coñecido como número de Dottie ), solución real única da ecuación , onde está en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass). se é alxébrica e distinta de cero, para calquera rama da función W de Lambert (polo teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular a constante omega . se tanto como a orde son alxébricas tal que , para calquera rama da función W xeneralizada de Lambert , a super-raíz cadrada de calquera número natural é un número enteiro ou transcendental (polo Gelfond-Teorema de Schneider). Valores da función gamma dos números racionais que teñen a forma ou .. Combinacións alxébricas de e ou de e como a constante lemniscata (deducido a partir das súas respectivas independencias alxébricas). Os valores da función beta se e son números racionais non enteiros. A función de Bessel do primeiro tipo , a súa primeira derivada e o cociente son transcendentais cando é racional e é alxébrica e distinta de cero, e todas as raíces distintas de cero de e son transcendentais cando é racional. O número , onde e son funcións de Bessel e é o Constante de Euler-Mascheroni. Calquera número de Liouville, en particular: a constante de Liouville. Números cunha medida de irracionalidade grande, como a constante de Champernowne (polo teorema de Roth). Números construídos artificialmente para non ser períodicos alxébricos. Calquera número non computábel, en particular: a constante de Chaitin. Números irracionais construídos que non son simplemente normal en ningunha base. Calquera número para o cal os díxitos con respecto a algunha base fixa formen unha palabra de Sturmian. A Constante de Prouhet-Thue-Morse; . A constante de Komornik-Loreti. Os valores da serie infinita cunha taxa de converxencia rápida, segundo a definición de Y. Gao e J. Gao, como . Os valores da Fracción continua de Rogers-Ramanujan onde é alxébrica e . Os valores da lemniscáta da función theta (nas mesmas condicións para ) tamén son transcendentais Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Aproximación diofantiana. Medida da irracionalidade. Número e Ligazóns externas
Categoría:Álxebra