Le théorème de Stark-Heegner est un théorème de la théorie des nombres qui indique précisément, parmi les corps quadratiques imaginaires, lesquels ont un anneau d'entiers factoriel. Il résout le cas n = 1 du problème du nombre de classes de Gauss, qui est de déterminer combien de corps quadratiques imaginaires ont leur nombre de classes égal à n.
Énoncé Soient ℚ le corps des nombres rationnels et d ≠ 1 un entier sans facteur carré (c'est-à-dire produit, ou opposé d'un produit, de nombres premiers distincts). Alors le corps de nombres ℚ() est une extension de degré 2 de ℚ, appelée une extension quadratique. Le nombre de classes de ℚ() est le nombre de classes d'équivalence des idéaux non nuls de l'anneau des entiers de ce corps, où deux idéaux et sont équivalents si et seulement s’il existe des éléments non nuls a et b de l'anneau tels que a = b. Ainsi, l'anneau des entiers de ℚ() est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car cet anneau est de Dedekind) si et seulement si son nombre de classes est égal à 1. Le théorème de Stark-Heegner peut alors être énoncé comme suit :
Histoire Ce résultat est conjecturé en premier par le mathématicien allemand Gauss et démontré par Kurt Heegner en 1952, bien que la démonstration de Heegner ne soit pas acceptée ; . avant que Harold Stark donne une démonstration en 1967. et montre qu'elle était en réalité équivalente à celle de Heegner.
Si, inversement, d > 0, la conjecture de Gauss selon laquelle il existerait une infinité de corps quadratiques réels dont le nombre de classes vaut 1. n'est toujours pas résolue. Les résultats par calculs indiquent qu'il existe un grand nombre de tels corpsSuite de l'OEIS..
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Entier de Gauss (cas d = –1) Entier d'Eisenstein (cas d = –3) Autres anneaux euclidiens parmi les anneaux d'entiers quadratiques principaux
Nombres de Heegner (les entiers positifs opposés des neuf valeurs de d du théorème) Nombre chanceux d'Euler (une application) Forme modulaire, Invariant j, Multiplication complexe, Quartique de Klein (des outils de démonstration)
Liens externes , qui explique la nouvelle preuve de Monsur A. Kenku (1985)
Catégorie:Entier quadratique Stark