En analyse fonctionnelle, le théorème de Fréchet-Kolmogorov (noms auxquels on adjoint parfois Riesz ou Weil) donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble de fonctions soit relativement compact dans l'espace , où désigne la mesure de Lebesgue sur ℝ. Il constitue une variante du théorème d'Ascoli.
Énoncé Soient p un nombre réel supérieur ou égal à 1 et B un sous-ensemble de .
Cette partie B est relativement compacte si et seulement si les trois propriétés suivantes ont lieu simultanément : B est bornée, uniformément par rapport à B, uniformément par rapport à B, où désigne la translatée de par , c'est-à-dire .
Démonstration Puisque est complet, B est relativement compact si et seulement s'il est précompact.
Sachant que les trois propriétés sont vraies si B est un singleton, on en déduit facilement qu'elles le restent si B est un précompact.
Réciproquement, supposons que B satisfait les trois propriétés et montrons qu'il est précompact. D'après l'hypothèse 2, il suffit de démontrer que pour tout compact K de ℝ, l'ensemble B des restrictions à K d'éléments de B est précompact.
Pour tout , notons : la boule de ℝ de centre 0 et de rayon ; son volume ; la mesure de probabilité de Lebesgue sur cette boule : ;
D'après l'inégalité de Jensen ou celle de Hölder, pour une mesure de probabilité, la norme est une fonction croissante de . En appliquant le théorème de Fubini, on en déduit :
ce qui garantit au passage que mais montre surtout que (d'après l'hypothèse 3) uniformément par rapport à B, si bien que pour démontrer la précompacité (pour la norme ) de B, il suffit de vérifier, pour tout , celle de l'ensemble
Il est même précompact pour la norme de la convergence uniforme sur car le théorème d'Ascoli s'applique. On montre en effet qu'en tout point , cet ensemble est : équicontinu d'après l'hypothèse 3 car (en réutilisant la croissance des normes) borné d'après l'hypothèse 1 car (par un calcul analogue)
Références , p. 72
Frechet-Kolmogorov Catégorie:Théorie de l'intégration