thumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement. Les fonctions trigonométriques sont des fonctions mathématiques définies originellement pour relier les longueurs des côtés d'un triangle à la mesure de ses angles aux sommets. Ces fonctions sont importantes en géométrie pour étudier les polygones et les cercles (on les appelle aussi fonctions circulaires), en géodésie et en navigation maritime ou aérienne pour les calculs de position et de distance, et en physique pour modéliser les phénomènes périodiques.
Les trois fonctions trigonométriques les plus utilisées sont le sinus (noté ), le cosinus () et la tangente (, ou ). D'autres fonctions sont aussi utilisées : cotangente, sécante, cosécante, sinus verse, haversine, Les relations entre les différentes fonctions trigonométriques constituent les identités trigonométriques. Ces relations servent dans les disciplines susmentionnées mais aussi en analyse mathématique, par exemple pour l'intégration par changement de variable.
Les fonctions trigonométriques peuvent aussi être définies comme les sommes de séries entières ou comme les solutions d'équations différentielles, ce qui permet de les généraliser à des nombres complexes.
Par ailleurs, sur le modèle des fonctions trigonométriques, on définit aussi des fonctions hyperboliques dont le nom dérive des premières : sinus hyperbolique (), cosinus hyperbolique (), tangente hyperbolique ()
Histoire
Les traces les plus anciennes d'utilisation de sinus seraient apparues dans les Śulba-Sūtras écrits en sanskrit védique dans la période des
Les fonctions trigonométriques furent plus tard étudiées par Hipparque de Nicée (185-125 av. J.-C.), Âryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Al-Khawarizmi, Abu l-Wafa, Omar Khayyam, Al-Battani (858-929), Bhāskara II, Nasir ad-Din at-Tusi, Regiomontanus (1464), Al-Kashi (), Ulugh Beg (), Madhava (1400), Rheticus et son disciple Valentin Otho.
L'ouvrage Introductio in analysin infinitorum (1748) de Leonhard Euler fut en grande partie à l'origine des considérations analytiques des fonctions trigonométriques en Europe en les définissant à partir de développements en séries, et présenta les formules d'Euler.
Lignes trigonométriques Un triangle quelconque rectiligne (ou sphérique) possède six parties : trois côtés et trois angles. Toutes ces parties ne sont pas utiles à la construction du triangle, par exemple les seules données de la longueur de deux de ses côtés et de l'angle entre ces côtés permet de compléter le triangle. Mais connaissant seulement les trois angles, il est impossible de retrouver le triangle, puisqu'il existe une infinité de triangles ayant les trois mêmes angles (triangles semblables). En fait, sauf dans un seul cas, il suffit de connaître trois de ces parties dont au moins un côté pour construire un triangle. Le cas où deux côtés sont connus mais l'angle connu n'est pas celui porté par les deux côtés peut définir deux triangles non semblables.
Le problème de la détermination avec exactitude des parties manquantes du triangle fut étudié en particulier en Europe à partir du Moyen Âge. Les méthodes géométriques ne donnant, à l'exception des cas simples, que des constructions approximatives et insuffisantes à cause de l'imperfection des instruments utilisés, les recherches s'orientèrent plutôt vers des méthodes numériques afin d'obtenir des constructions avec un degré de précision voulu.
Et l'un des objectifs de la trigonométrie fut donc de donner des méthodes pour calculer toutes les parties d'un triangle, c'est-à-dire pour résoudre un triangle. Pendant longtemps les géomètres cherchèrent en vain des relations entre les angles et les côtés des triangles. Une de leurs plus grandes idées fut de se servir des arcs plutôt que des angles pour effectuer leurs mesures.
Ces arcs de cercle ont pour centre un sommet du triangle et sont compris entre les côtés se rapportant à ce sommet. Ces considérations menèrent tout naturellement les géomètres à remplacer les arcs par les segments de droites dont ils dépendent.
Ces segments s'appellent les lignes trigonométriques. Il s'agit en fait d'un autre vocable pour désigner les fonctions trigonométriques (, , …) appelées aussi fonctions circulaires. Des relations entre les côtés et certaines lignes liées aux arcs s'établissent de manière que les lignes puissent être déterminées à partir de certains arcs et réciproquement. Une convention fondamentale oblige alors à ne considérer que les lignes trigonométriques rapportées à des cercles de rayon 1. Ces lignes trigonométriques définissent les fonctions trigonométriques modernes.
Les fonctions trigonométriques mathématiques sont celles qui s'appliquent à des mesures d'angles données en radians. Mais il est encore d'usage de garder les mêmes noms de fonctions pour les autres unités de mesure comme les degrés ou les grades.
Définitions dans un triangle rectangle thumb|right
Pour définir les fonctions trigonométriques d'un angle , considérons un triangle rectangle dont est l'un des deux angles aigus.
Les côtés du triangle rectangle sont appelés : l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, constituant une jambe de l'angle et le côté le plus long du triangle ; le côté adjacent : c'est le côté joignant l'angle droit depuis , constituant une jambe de l'angle , qui n'est pas l'hypoténuse ; le côté opposé : c'est le côté opposé à l'angle , joignant l'angle droit, qui n'est pas l'hypoténuse.
On notera : : la longueur de l'hypoténuse ; : la longueur du côté adjacent ; : la longueur du côté opposé.
Les différents rapports de ces trois longueurs ne dépendent pas du triangle choisi (du moment qu'il comporte l'angle et un angle droit) puisque tous ces triangles sont semblables.
Le sinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé par la longueur de l'hypoténuse :
Le cosinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse :
La tangente d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent :
Notons que l'on a : .
Les trois fonctions restantes sont définies en utilisant les trois fonctions ci-dessus : La cosécante de , notée ou , est l'inverse du sinus de , c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté opposé :
La sécante de , notée , est l'inverse du cosinus de , c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté adjacent :
La cotangente de , notée , est l'inverse de la tangente de , c'est-à-dire le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur du côté opposé :
Notons que l'on a : .
Définitions à partir du cercle unité vignette|Tracé des fonctions sinus et cosinus à partir du cercle unité. vignette|upright=1.3|right|Valeurs exactes placées sur le cercle unité. Les six fonctions trigonométriques peuvent également être définies à partir du cercle unité. La définition géométrique ne fournit presque pas de moyens pour le calcul pratique ; en effet elle se fonde sur des triangles rectangles pour la plupart des angles. Le cercle trigonométrique, en revanche, permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, pas seulement pour des angles de mesure en radians comprise entre 0 et .
Dans un plan muni d'un repère orthonormé , le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Si l'on considère un point A(xA, yA) sur le cercle, alors on a :
Sur le cercle ci-contre, nous avons représenté certains angles communs, et nous avons indiqué leurs mesures en radians figurant dans l'intervalle , soit deux mesures par angle et même trois pour l'angle nul.
On mesure les angles positifs dans le sens trigonométrique, contraire à celui des aiguilles d'une horloge, et les angles négatifs dans le sens horaire. Une demi-droite qui fait un angle avec la demi-droite positive Ox de l'axe des abscisses coupe le cercle en un point de coordonnées . Géométriquement, cela provient du fait que l'hypoténuse du triangle rectangle ayant pour sommets les points de coordonnées , et est égale au rayon du cercle donc à 1. Le cercle unité peut être considéré comme une façon de regarder un nombre infini de triangles obtenus en changeant les longueurs des côtés opposés et adjacents mais en gardant la longueur de leur hypoténuse égale à 1.
On a donc :
ainsi que
Le cercle unité a pour équation :
Cela donne immédiatement la relation
Définition à partir du produit scalaire
En géométrie vectorielle, le cosinus est défini à partir du produit scalaire de deux vecteurs u et v et de leurs normes ||u|| et ||v|| par :
Définitions à partir des séries entières
Ici, et généralement en analyse, il est de la plus grande importance que tous les angles soient mesurés en radians. On peut alors définir et à l'aide de séries entières :
Ces définitions sont équivalentes à celles données ci-dessus ; on peut le justifier avec la théorie des séries de Taylor, et avec le fait que la dérivée du sinus est le cosinus et que celle du cosinus est l'opposé du sinus.
Ces définitions sont souvent utilisées comme point de départ des traités rigoureux d'analyse et de la définition du nombre puisque la théorie des séries est bien connue. La dérivabilité et la continuité sont alors faciles à établir, de même que les formules d'Euler en analyse complexe reliant les fonctions trigonométriques à la fonction exponentielle, ainsi que l'identité d'Euler. Les définitions utilisant les séries ont l'avantage supplémentaire de permettre de prolonger les fonctions sinus et cosinus en des fonctions analytiques dans tout le plan complexe.
Il n'est pas possible d'obtenir des séries aussi simples pour les autres fonctions trigonométriques, mais on a, par exemple
où Bn est le n-ème nombre de Bernoulli. Ces expressions se traduisent sous forme de fractions continues généralisées ; elles ont permis à Lambert de démontrer l'irrationalité du nombre (cf. l'article « Fraction continue et approximation diophantienne »).
À défaut de série entière simple, il existe pour la fonction cotangente une série absolument convergente, obtenue comme limite de sommes d'éléments simples correspondant à des pôles opposés.. :
On en déduit. Voir aussi . :
Représentations graphiques
Les courbes des fonctions sinus et cosinus sont appelées sinusoïdes.
Propriétés des fonctions trigonométriques
Valeurs remarquables
Il existe des tables de valeurs des fonctions trigonométriques, mais ces valeurs peuvent également être calculées par une calculatrice. Pour quelques angles simples, les valeurs peuvent être calculées exactement à la main : elles sont indiquées dans le tableau suivant. Exemples :
thumb|left|Triangle rectangle isocèle : c =
thumb|right|Triangle équilatéral divisé en 2 pour calcul du sin, du cos, et de la tan pour 30° et 60°
Pour 45 degrés (/4 radians) : les deux angles du triangle rectangle sont égaux ; les longueurs et étant égales, on peut choisir . On détermine alors le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 45 degrés en utilisant le théorème de Pythagore (voir figure à gauche) : Pour 30 degrés ( radians) et 60 degrés ( radians) : on considère un triangle équilatéral de longueur latérale 2. Tous ses angles internes sont de 60 degrés. En le divisant en deux parties égales, on considère un des deux triangles rectangles obtenus ayant un angle de 30° et un angle de 60°. Le petit côté de ce triangle rectangle est égal au demi-côté du triangle équilatéral : il vaut 1. Le troisième côté de ce triangle rectangle est d'une longueur telle que (voir figure à droite) :