En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si des nombres algébriques sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors leurs exponentielles sont algébriquement indépendantes sur Q. En d'autres termes, l'extension Q de Q est transcendante de degré .

Une formulation équivalente du théorème est la suivante, Theorem 1.4. : si sont des nombres algébriques distincts alors sont linéairement indépendants sur le corps des nombres algébriques, c'est-à-dire :

pour tous nombres algébriques non tous nuls.

En 1882, ce théorème fut annoncé par Ferdinand von Lindemann à la fin de son article sur le cas particulier , et fut aussitôt démontré par Karl Weierstrass, qui diffusa son manuscrit mais différa jusqu'en 1885 sa publication...

Le cas

En 1882, Lindemann avait esquissé la preuve du fait que pour tout nombre algébrique non nul, le nombre est transcendant (ce qui redémontrait que est transcendant et prouvait que l'est aussi). C'est le cas du théorème démontré par Weierstrass.

En effet (avec la première formulation), est non nul équivaut à : l'ensemble est linéairement libre sur Q, et est transcendant équivaut à : l'ensemble est algébriquement libre sur Q

En utilisant la seconde formulation, on peut le réécrire : est non nul équivaut à : et sont distincts, et est transcendant équivaut à : et sont linéairement indépendants sur .

Conjecture -adique

L'analogue -adique du théorème de Lindemann-Weierstrass est la conjecture suivante :

Notes et références

Voir aussi Articles connexes Conjecture de Schanuel Théorème de Baker

Liens externes (démonstration tirée de et détaillée), sur le site PlanetMath sur le site MathWorld sur le site MathWorld .

Catégorie:Pi Catégorie:Exponentielle Lindemann-Weierstrass