En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs sauf lui-même (ses diviseurs stricts). Plus formellement, un nombre parfait est un entier tel que où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de . Ainsi, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs positifs sont 1, 2, 3 et 6 et on a bien 6 = 1 + 2 + 3, tandis que 12 n'est pas un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 mais 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.
Début 2026, seuls 52 nombres parfaits sont connus, et ils sont tous pairs. On ne sait pas s'il existe des nombres parfaits impairs, ni s'il existe une infinité de nombres parfaits pairs.
Nombres parfaits pairs
Théorème d'Euclide-Euler Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au , a démontré que si est premier, alors est parfait.
Par ailleurs, Leonhard Euler, au , a démontré que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres de Mersenne premiers (nombres premiers de la forme , l'entier étant alors nécessairement premier). La « perfection » d'un tel nombre s'écrit :
Nombres parfaits connus
La question de l'existence d'une infinité de nombres parfait est un problème ouvert depuis l'Antiquité..
Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité : 6 = 2(2 − 1) = (1 + 2) + 3 ; 28 = 2(2 − 1) = (1 + 2 + 4) + (7 + 14) ; 496 = 2(2 − 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248) ; = 2(2 − 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) + (127 + 254 + 508 + + + ).
Depuis, le total est passé à 52 nombres parfaits (puisqu'on ne connaît que 52 nombres de Mersenne premiers, le dernier découvert en octobre 2024 ) sans même que l'on sache, à partir du , s'il n'y a pas des « trous » (des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts) Mersenne primes and perfect numbers sur le site Prime Pages. GIMPS Milestones sur le site Great Internet Mersenne Prime Search..
Les sept premiers nombres parfaits pairs sont donnés dans le tableau suivant (correspondant à la )La ligne p = 11 est absente car M n'est pas premier. Pour toute la liste connue, voir « Nombre de Mersenne premier ». :
pNombre de Mersenne premier MNombre parfait 2M 2 3 6 3 7 28 5 31 496 7 127 13 17 19
Propriétés
Un nombre parfait pair étant de la forme , c'est un nombre hexagonal (donc aussi un nombre triangulaire) et, en tant que tel, la somme des entiers naturels jusqu'à un certain rang (impair), en l'occurrence . Un nombre parfait pair, excepté le premier, est la somme des premiers cubes impairs.
La somme des premiers cubes impairs est () , d'où le résultat avec .
Exemples : 28 = 1 + 3 ; 496 = 1 + 3 + 5 + 7 ; 8128 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15.
Le seul nombre parfait pair qui est égal à la somme de deux cubes est le nombre . En conséquence, est aussi le seul nombre parfait pair de la forme .
En base 10, un nombre parfait pair se termine par (si ou si est de la forme ) ou par (si est de la forme ).
La propriété est constatée sur les premiers nombres parfaits pairs . Démontrons la pour tout entier avec impair différent de . En base dix, le chiffre des unités de est , celui de est , de est , de est puis, pour les puissances suivantes de , on retrouve le cycle des chiffres d'unités: . Si est impair, le chiffre des unités est (pour ) ou (pour ). De même le chiffre des unités de , impair différent de , est (pour ) ou (pour ). Le chiffre des unités du nombre avec impair différent de est donc égal à celui de ou , donc (pour ) ou (pour ). Or tous les nombres parfaits pairs, sauf , sont de cette forme, avec impair premier. Et la propriété est vérifiée par . Donc elle est vraie pour tous les nombres parfaits pairs.
Cette propriété peut être précisée et étendue comme suit : écrit en base dix, tout nombre parfait pair où est de la forme se termine par .
Soit (premier ou non), et avec et . Rappelons d'abord que tout nombre entier peut s'écrire en base dix comme avec et que, si est un autre entier se terminant, écrit en base dix, par alors : . Donc le chiffre des dizaines et celui des unités de sont les mêmes que ceux du nombre . Remarquons que et que . Donc, en appliquant le rappel précédent avec , on démontre successivement que : , , , puis . Ce qui démontre que les nombres écrits en base dix se terminent de façon cyclique de période 5 par: . De même les terminaisons successives de sont avec aussi une période de 5. Et les produits deux à deux de ces terminaisons, qui donnent les terminaisons successives de , se terminent tous par , ce qui démontre la propriété.
écrit en base dix, tout nombre parfait pair où est de la forme se termine par ou , le seul ayant cette dernière terminaison étant .
Soit (premier ou non), et avec et . Rappelons d'abord que tout nombre entier peut s'écrire en base dix comme avec et que, si est un autre entier se terminant, écrit en base dix, par alors : . Donc le chiffre des dizaines et celui des unités de sont les mêmes que ceux du nombre . Remarquons que et que . En appliquant le rappel précédent avec , on démontre successivement que : , , , puis . Ce qui démontre que les nombres écrits en base dix se terminent de façon cyclique de période 5 par : . De même les terminaisons successives de sont avec aussi une période de 5. Et les produits deux à deux de ces terminaisons, qui donnent les terminaisons successives de , se terminent par , avec seulement pour et tous les de la forme . Or, sauf pour (donc , et ), tous les nombres sont des nombres composés multiples de : donc pour n'est parfait que pour , et le seul nombre parfait se terminant par est . Et tous les autres nombres parfaits générés par ( premier) se terminent par , ce qui finit de démontrer la propriété.
En base 9, un nombre parfait pair différent de se termine toujours par H. Novarese. Note sur les nombres parfaits, Texeira J. VIII (1886), 11-16., vol. I, ..
Soit un nombre parfait pair différent de . Donc , avec premier impair.
En remarquant que pour tout , on comprend que pour tout impair supérieur à , . Donc est de la forme , et en conséquence et . Donc .
Tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux Douglas E. Iannucci, « The Kaprekar Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 3, 2000, Article 00.1.2..
Nombre parfait impair
Dès l'Antiquité, des mathématiciens s'interrogent sur l'existence de nombres parfaits impairs. L'impossibilité de démontrer cette existence, même seulement en exhibant un seul exemple de tel nombre, amène Jacques Lefèvre en 1496 à affirmer, sans en donner de preuve, que tout nombre parfait est de la forme décrite par Euclide, vol. I, ., donc qu'aucun nombre parfait impair n'existe.
Dans la seconde moitié du 18 siècle, Euler démontre qu'un nombre parfait impair, s'il devait en exister un, serait de la forme :où est un nombre impair, un nombre premier impair qui ne divise pas et où la relation suivante est remplie : . Notons la décomposition en produit de facteurs premiers de l'entier parfait impair comme , où les sont des nombres premiers impairs distincts, et démontrons que tous les exposants sauf un sont pairs. Comme pour tout entier, on a : , où est le nombre de diviseurs de l'entier . Comme est parfait, on a donc : . Comme est impair, ne divise pas , donc un seul des est pair, et tous les autres sont impairs. Or, puisque est impair, est pair si et seulement si est impair : donc tous les sauf un sont pairs.
La décomposition en produit de facteurs premiers de est donc de la forme : avec impair.
Démontrons maintenant que . Comme est impair, l'est aussi, donc ou . Supposons que : ceci est équivalent à supposer que . On aurait donc : car est impair. Mais ceci est impossible car, comme , serait divisible par alors que est impair. Donc il est impossible que , et nécessairement . Et donc , avec pair non multiple de . Donc et . Aujourd'hui, les mathématiciens ignorent encore si des nombres parfaits impairs existent, même si tous les travaux réalisés sur la question conduisent à conjecturer qu'il n'en existe pas.
Les travaux menés sur ce sujet par de nombreux mathématiciens ont mis en évidence un nombre croissant de propriétés qu'un nombre parfait impair N, s'il devait exister, devrait avoir. Certaines d'entre elles sont indiquées ci-dessousDans ce qui suit, désigne le nombre de facteurs premiers distincts de N (soient q et p1 à pk). : N a une décomposition en facteurs premiers de la forme où les entiers q, p, α et e vérifient les propriétés suivantes : q, p, … , p sont des nombres premiers distincts (Euler) ; q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler) ; le plus petit facteur premier de N est inférieur à. ; la relation e ≡ e ≡ … ≡ e ≡ 1 (modulo 3) n'est pas satisfaite. ; q > 10 ou p > 10 pour au moins un. j ; N est inférieur à. 2 ; Si e ≤ 2 pour tout i : le plus petit diviseur premier de N est au moins. 739, α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12) ; N est de la forme 12m + 1 ou 324m + 81 ou 468m + 117. ; N est supérieur à 10 ; Le plus grand diviseur premier de N est supérieur à. 10 ; Le second plus grand diviseur premier de N est supérieur à 10 et le troisième à. 100 ; N se décompose en au moins 101 facteurs premiers dont au moins 10 facteurs premiers distincts.. Si 3 n'est pas un diviseur de N, alors N comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts, .. John Voight a trouvé un nombre impair où et sont premiers entre eux, premier et , alors qu'il faudrait pour que soit parfait impair ( et ) arXiv version. Il considère alors comme nombre parfait impair négatif.
En 2003, Carl Pomerance a présenté une méthode heuristique qui suggère qu'aucun nombre parfait impair n'existe Oddperfect.org..
Exemples de propriétés Comme on l'a vu précédemment les nombres parfaits pairs ont une forme bien précise et les nombres parfaits impairs sont rares si tant est qu'ils existent. L'étude des nombres parfaits a conduit à la découverte d'une grande variété de leurs propriétés, dont certaines sont indiquées ci-dessous : Aucun nombre parfait n'est un carré parfait.
Le nombre de diviseurs d'un nombre parfait est pairCar un nombre est un carré parfait si et seulement si le nombre de ses diviseurs est impair.. Tout nombre parfait est un nombre à moyenne harmonique entière. La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait vaut 2 . exemple pour : ; exemple pour : . Une démonstration simple de cette propriété pour les nombres parfaits pairs est donnée ci-dessous :
Pour , cette somme est égale à .
Aucun nombre parfait n'est un cube parfait. Un nombre parfait n'est pas divisible par 105.Ce résultat ancien est beaucoup moins précis que ceux connus actuellement . Un nombre de Fermat ne peut être parfait. Le seul nombre parfait sans facteur carré est 6.
Si est un nombre parfait pair, alors il est de la forme . S'il n'a pas de facteur carré il faut que . Donc , et est le seul nombre parfait pair sans facteur carré.
Si est un nombre parfait impair, alors, comme énoncé et démontré dans le chapitrer relatif aux propriétés d'éventuels nombres parfaits impairs, il est de la forme , donc a au moins un facteur carré.
Donc est le seul nombre parfait sans facteur carré.
Notions apparentées
Si la somme des diviseurs stricts est plus petite que le nombre, ce nombre est dit déficient. Dans le cas où la somme est plus grande, le nombre est dit abondant. Ces termes sont issus de la numérologie grecque. Un couple de nombres dont chacun est la somme des diviseurs stricts de l'autre est dit amical, les cycles plus étendus sont dits sociables. Un entier positif tel que chaque entier inférieur est la somme de diviseurs distincts du premier nombre est dit pratique.
Voir aussi
Nombre presque parfait Nombre de Descartes (faux nombre parfait impair)
Notes et références
Notes
Références
Liens externes Sobre el patrón de los números primos Known Perfect Numbers
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