En mécanique et en mathématiques, les angles d'Euler sont les trois angles qui donnent l'orientation d'un solide par rapport à un trièdre cartésien de référence. Ils sont introduits par Leonhard Euler (1707-1783). Ils sont appelés, respectivement, angle de précession, de nutation et de rotation propre, les deux premiers pouvant être vus comme une généralisation des deux angles des coordonnées sphériques.
Le mouvement d'un solide est la variation temporelle de sa position par rapport à un référentiel. Il peut être décrit en donnant la variation temporelle de six nombres scalaires, qui mesurent à la fois la position d'un de ses points (par exemple, son centre de masse) et l'orientation de ce solide : les trois angles d'Euler, schémas ci-dessous.
Les angles d'Euler peuvent aussi servir à représenter l'orientation d'un solide par rapport à un repère (appelée aussi attitude en astronautique).
Notations et étymologies Les trois angles d'Euler, de précession, de nutation et de rotation propre (ou de giration), sont couramment notés respectivement , et .
Le mot précession vient du latin praecessio (« action de précéder ») ; cela provient de son utilisation en astronomie dans l'expression « précession des équinoxes ».
Le mot nutation vient du latin nutatio (« action de pencher la tête ») et est aussi utilisé en botanique pour signifier l'habitude qu’ont certaines plantes de pencher leurs fleurs.
Le mot rotation vient du latin rotatio avec la même signification et le mot giration vient du latin gyratum, lui-même issu du grec gûros (« cercle »). vignette|250x250px
Exemple de la toupie Dans l'exemple du mouvement de la toupie ci-contre, l'angle de nutation mesure l'obliquité de l'axe par rapport à la verticale, l'angle de précession mesure la rotation de l'axe de la toupie autour de , et l'angle de rotation propre mesure bien la rotation de la toupie sur elle-même.
On voit dans cet exemple que l'angle de précession est égal à la longitude augmentée d'un angle droit et l'angle de nutation est égal à la colatitude dans les coordonnées sphériques de l'axe dans .
Rotations d'Euler Changement de référentiel Les trois rotations obtenues en modifiant un des trois angles d'Euler et en gardant les deux autres constants sont la précession, la nutation et la rotation propre. On passe du référentiel fixe au référentiel lié au solide par trois rotations successives :
La précession, d'angle autour de l'axe , qui fait passer de au référentiel (en bleu dans l'image de gauche ci-dessus).
La nutation, d'angle autour de l'axe (ou ligne des nœuds), qui fait passer de à (en vert).
La rotation propre, ou giration, d'angle autour de l'axe , qui fait passer de au référentiel lié au solide (en rouge).
NB. L'axe est porté par l'intersection des plans et .
Les coordonnées d'un point dans le référentiel mobile sont reliées aux coordonnées de ce même point dans le référentiel fixe par la relation suivante :
avec la matrice de passage
Rappelons que cette matrice donne aussi verticalement les coordonnées des vecteurs unitaires dans la base .Notons que le passage inverse s'écrit , où est la transposée de , cette dernière étant orthogonale.
Interprétation par composée de rotations La matrice est aussi la matrice dans le référentiel fixe de la rotation transformant ce référentiel en . La décomposition de matrices montre que cette rotation est la composée où
est la rotation d'angle autour de , est la rotation d'angle autour de , est la rotation d'angle autour de .
Généralité de la décomposition La donnée des deux référentiels et permet de connaitre les angles d'Euler. Celui de nutation est l'angle entre et , l'axe s'obtient comme perpendiculaire commune à et , et on obtient respectivement et comme angles entre et et entre et .
La matrice ci-dessus est donc la matrice générale d'une rotation, et la décomposition prouve que le groupe des rotations d'axe passant par O est engendré par les rotations d'axes l'un de deux axes orthogonaux donnés passant par O.
En terme d'aéronautique, cela signifie qu'on obtient l'orientation quelconque d'un avion en utilisant deux des trois rotations : roulis (d'axe la carlingue), tangage (d'axe les ailes), et lacet (d'axe la verticale), par exemple roulis puis tangage puis roulis.
Autre conséquence : lorsqu'on manipule à la souris un objet visualisé à l'écran (vers le haut : rotation autour de l'horizontale, vers la droite : rotation autour de la verticale), on obtient toutes les orientations possibles de l'objet.
Nota : est la rotation d'angle autour de où ,
et a pour coordonnées .
On obtient la première relation en écrivant que la trace de est égale à .
La deuxième et la troisième deuxième s'obtiennent facilement en écrivant les matrices d'Euler-Rodrigues de et en effectuant leur produit.
Exemple : la rotation d'un tiers de tour autour de de matrice a pour angles d'Euler .
Mécanique du solide vignette On s'intéresse seulement ici à la description du mouvement du solide en rotation quelconque autour du point O, qui peut être un point fixe du solide dans le référentiel de référence ou le centre de masse. Les angles d'Euler sont choisis de façon à permettre une mémorisation simple de la construction du vecteur rotation instantané du solide, nécessaire à l'étude de la cinématique du solide. Le vecteur rotation instantané du solide est en effet donné par la simple somme :
,
où les vecteurs apparaissant dans le membre de droite sont les vecteurs unitaires des axes correspondants et les expressions sont respectivement les vitesses angulaires de précession, de nutation et de rotation propre. On remarquera que l'expression simple précédente utilise une base non orthogonale.
L'utilisation des angles d'Euler est très générale en mécanique et en astronomie, par exemple pour décrire le mouvement du gyroscope : dans l'animation ci-contre, les vitesses de précession et de rotation propre sont constantes et la vitesse de nutation est nulle, l'angle de nutation restant constant.
Orientation cristalline vignette|Figures de pôles représentant la texture cristalline d'un alliage gamma-TiAl. En science des matériaux, les angles d'Euler sont utilisés pour décrire l'orientation cristalline (orientation d'un cristallite par rapport aux axes de l'échantillon), notamment dans le domaine de la texture (orientation préférentielle). Les angles sont alors en généralil s'agit de la notation adoptée par Bunge dans son ouvrage Texture analysis in materials science, une référence dans le domaine notés () avec :
.
On utilise parfois une autre variante dans laquelle la seconde rotation (nutation) se fait selon l'axe au lieu de ; les angles sont alors notés () sans que cela ait un rapport avec les notations des mécaniciens, ce qui n'est pas sans risque de confusion.
400x400px|Variantes des angles d'Euler
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie . . .
Articles connexes Formule d'Euler-Rodrigues Angles de Tait-Bryan Blocage de cardan Stabilisation gyroscopique
Liens externes Une animation des angles d'Euler
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