Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski.
Le demi-plan de Poincaré (1882) Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisément de géométrie hyperbolique.
Géométrie On considère le demi-plan supérieur :
Métrique On munit le demi-plan supérieur de la métrique :
Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative :
On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit : = 1 pour simplifier les équations.
Géodésiques Les géodésiquesOn pourra consulter le site du mathématicien Andrew G. Bennett (université du Kansas) qui contient 3 applets java sur les géodésiques, les cercles hyperboliques et les triangles hyperboliques. sont les demi-droites (au sens euclidien) verticales : = cte (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses : = 0 (en bleu) :
center|200 px|upright=2
Homographies Le groupe de matrices inversibles GL2+(R) agit sur cet espace, par homographiesLe groupe GL2+(R) est le sous-groupe de GL2(R) formé par les matrices de déterminant positif.. Plus précisément, soit un élément de GL2+(R) :
Son action sur un point du demi-plan est donnée par la transformation de Möbius :
Groupes fuchsiens
Formes automorphes
Dynamique chaotique Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit. Pour plus de détails, voir la section « Dynamique chaotique » de l'article « Géométrie hyperbolique ».
Voir aussi Géométrie hyperbolique et sa bibliographie Disque de Poincaré Formule des traces de Selberg Théorie du chaos Théorie ergodique Chaos quantique
Notes et références
Catégorie:Géométrie hyperbolique Catégorie:Méthode mathématique de la physique Catégorie:Nommé d'après Henri Poincaré