En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est un théorème permettant d'établir la convergence ou la divergence de certaines séries à termes réels strictement positifs, dans le cas où une conclusion directe est impossible avec la règle de d'Alembert. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.
Énoncé
Cette règle est un corollaire immédiat de celle de Kummer (section ci-dessous).
Dans le cas particulier où la suite admet une limite réelle - , ce qui équivaut à , la règle de Raabe-Duhamel garantit que : si , diverge ; si , converge. Si , l'exemple de la série de Bertrand montre que l'on ne peut pas conclure.
Exemple Soient . La série de terme général
est divergente si et convergente si , exemple 2.. En effet :
Règle de Kummer La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit.La , n'est formulée que si admet une limite : la série diverge si et , et converge si . :
Henri Padé a remarqué en 1908. que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs.
Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand. (en prenant ), dont le critère de Gauss.. est une conséquence.
Notes et références
Bibliographie Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221
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