Soit M un A-module. Deux sous-modules N et P sont supplémentaires lorsque M est somme directe de N et P. Ceci équivaut évidemment à :
et
Un sous-module N d'un A-module M est facteur direct s'il possède un supplémentaire.
Propriétés
Si N est un facteur direct de M, alors tous ses supplémentaires sont isomorphes au quotient M/N.
Soit N un sous-module de M. Si M/N est libre, alors N est facteur direct.
Pour que N soit facteur direct de M, il faut et il suffit qu'il existe un endomorphisme p de M (appelé projecteur) vérifiant les deux conditions suivantes :
Soient F et S deux sous-modules d'un A-module M. Si S est simple, alors ou .
Pour qu'un A-module soit semi-simple, il faut et il suffit que tous ses sous-modules soient facteurs directs. C'est toujours le cas si A est un corps.
Notes et références
Voir aussi Sous-espace supplémentaire
Catégorie:Module