La masse électromagnétique désigne la contribution des interactions électromagnétiques à l'inertie d'un corps. Il s'agit d'un concept classique introduit pour la première fois en 1881 par Joseph ThomsonJoseph John Thomson, On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies, Philosophical Magazine. 5. Vol. 11, no. 68. pp. 229–249, 1881Kirk T. McDonald, On the History of the Radiation Reaction, Princeton University (2017), Partie 6 : J.J. Thomson and Electromagnetic Mass. La masse électromagnétique constitue, au même titre que l'inductance ou la force d'Abraham-Lorentz, un phénomène d'auto-interaction, dans la mesure où un corps chargé interagit avec son propre champ électromagnétique. Elle s'exprime en kilogrammes (kg) dans le Système international d'unités (SI).
Origine physique Avant le , on pensait que la masse d'un corps (c'est-à-dire sa résistance à l'accélération) était uniquement liée à la quantité de matière qu'il renfermait. Or, les lois de l'électromagnétisme classique montrent que deux corps contenant la même quantité de matière peuvent pourtant présenter des masses différentes.
Démonstration Pour illustrer cela, nous pouvons considérer un système constitué de deux charges électriques ponctuelles q1 et q2 séparées par une distance .
Lorsque ce système est au repos, les forces électriques mutuelles entre les deux charges sont égales et opposées (loi de Coulomb), ce qui implique que la résultante de ces forces est nulle.
Si, à présent, on impose à l'ensemble du système une accélération dirigée vers la droite (en maintenant la distance r entre les deux charges constante), il n'en est plus de mêmeDavid J. Griffiths, Russell E. Owen, Mass renormalization in classical electrodynamics, Am. J. Phys. 51, 1120–1126 (1983) : en effet, le champ électrique produit par chaque charge ne se propageant pas instantanément, mais à la vitesse de la lumière (c = 299 792 458 m/s), la force subie par chaque charge ne dépend plus de la position actuelle de l'autre charge, mais de sa position retardée (t' = t - r/c). Ce faisant, la force exercée par q2 sur q1 devient légèrement plus forte que la force exercée par q1 sur q2. Ce déséquilibre conduit à l'apparition d'une force totale Fauto s'exerçant sur l'ensemble du système. Cette force est ici dirigée vers la gauche et tend donc à s'opposer à l'accélération, .
Pour calculer Fauto, il nous faut calculer la force électrique exercée par chaque charge sur l'autre, en prenant en compte les effets de retard dans la propagation du champ électrique. Nous pouvons pour ce faire utiliser la relation F = q E et calculer le champ électrique E créé par chaque charge en utilisant le modèle de Darwin, qui permet d'approximer l'expression des champs jusqu'à l'ordre 1/c² en régime quasi-stationnaireJonas Larsson, Electromagnetics from a quasistatic perspective, Deparment of Physics, Umea University, SE-90187 Umea, Suède, 2006. L'expression générale du champ E est :
dans laquelle toutes les grandeurs exprimées sont instantanées (c'est-à-dire considérées à l'instant présent t). Le premier terme de cette équation représente le champ coulombien, et le second est un terme correctif, causé par l'accélération des charges, qui prend précisément en compte les effets de retard.
Comme mentionné précédemment, le premier terme (bien que beaucoup plus important en amplitude que le second) conduit à des forces égales et opposées. En revanche, le terme lié à l'accélération produit des forces qui ne sont pas égales et opposées. En calculant la force totale Fauto s'exerçant sur le système, on trouve :
La force totale obtenue est proportionnelle à et augmente la résistance du système à l'accélération. De ce fait, on peut considérer (par définition) que celle-ci augmente la masse du système, la variation de masse Δm étant donnée (en utilisant la deuxième loi de Newton) par :
En appelant cette variation de masse la "masse électromagnétique d'interaction" des deux charges, on obtient :
Notons que si les charges q1 et q2 sont de même signe, la masse électromagnétique obtenue est positive (on parle alors d'excès de masse), tandis que si les charges q1 et q2 sont de signe opposé, la masse électromagnétique est négative (on parle alors de défaut de masse).
En notant respectivement m1 la masse de la charge q1, m2 la masse de la charge q2, et Mtot la masse totale du système {q1+q2}, on a finalement :
Conclusion : Les lois de l'électromagnétisme classique montrent que les interactions à distance entre particules chargées peuvent avoir une incidence sur la masse globale d'un système, ce qui implique que l'inertie d'un corps ne dépend pas uniquement de la quantité de matière qu'il contient. L'apparition d'une masse d'interaction est causée par la finitude de la vitesse à laquelle se propagent les champs dans l'espace (c). Ainsi, un condensateur chargé sera par exemple plus massif que le même condensateur non chargé, même si les deux sont constitués du même nombre exact de particules et qu'il n'y a pas eu d'échange de matière avec l'extérieur.
À la fin du XIXe siècle, certains physiciens sont allés jusqu'à avancer l'idée que la masse « mécanique » n'existait pas, et que 100% de la masse des corps était en réalité d'origine électromagnétique. Cependant, une telle hypothèse revient par exemple à devoir considérer l'électron et les autres particules élémentaires comme une distribution sphérique de charge, ce qu'il est impossible d'admettre sans une connaissance détaillée de la structure interne de ces particules. De plus, on sait aujourd'hui que d'autres interactions de la nature, à l'instar de la gravitation et de l'interaction nucléaire forte, peuvent également influer sur la masse des corps (les défauts de masse nucléaires en sont une illustration).
Orientation transverse
En considérant cette fois la situation dans laquelle l'accélération du système de deux charges ponctuelles est orthogonale à l'axe de la paire de charges (θ = 90°), on trouve, pour la force d'auto-interactionTimothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to an inertial mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 46, 383–385 (1978) :
ce qui implique :
La masse d'interaction obtenue est deux fois plus faible que dans le cas longitudinal.
Pour comprendre qualitativement l'émergence de cette force d'auto-interaction en configuration transverse, on peut se placer dans le référentiel accéléré des deux charges, et considérer que les lignes de champ électrostatique vont alors y apparaître courbéesMaria Becker, Adam Caprez, Herman Batelaan, On the Classical Coupling between Gravity and Electromagnetism, Atoms, 2015, comme l'est la trajectoire d'une balle de tennis dans un champ gravitationnel. Chaque charge expérimentera ainsi une très légère composante de force électrique dans le sens opposé à l'accélération, avec Ex ~ Ey*(a r / c²) (suivant le principe d'équivalence de la relativité générale, les lignes de champ électrostatique sont également courbées de cette même manière pour une charge au repos dans un champ gravitationnelTimothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to a gravitational mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 47 (1979) 129-131). Si les charges sont de signe opposé, la force d'auto-interaction sera dirigée dans le sens de .
Orientation quelconque
Si l'axe de la paire de charges réalise un angle θ quelconque avec le vecteur accélération , la masse électromagnétique d'interaction des deux charges est :
le facteur (1 + cos² θ) pouvant varier entre 1 et 2.
Apparition d'une force orthogonale à l'accélération
Lorsque θ n'est ni égal à 0° ni égal à 90°, une force d'auto-interaction perpendiculaire à l'accélération () fait également son apparition, en plus de celle colinéaire à l'accélération :
Cependant, seule peut être considérée comme contribuant à l'inertie du système. Pour rappel :
est maximisée lorsque θ = 45°. On peut s'en convaincre en utilisant l'identité trigonométrique :
sin(2θ) est maximisé pour θ = 45°.
Exemples
Défaut de masse de l'atome d'hydrogène
Un atome d'hydrogène est constitué de deux particules de charges électriques opposées (un proton et un électron) en interaction.
Les masses respectives d'un proton et d'un électron isolés sont données par :
Si on calcule la somme de ces deux masses, on trouve :
Or, la masse réelle (expérimentale) d'un atome hydrogène est donnée par :
On trouve donc :
L'écart entre les deux masses (le défaut de masse) est :
Ce défaut de masse est précisément la masse électromagnétique d'interaction (en l'occurrence négative) entre le proton et l'électron. Elle est environ 100 millions de fois plus faible que la masse totale de l'atome d'hydrogène.
Masse électromagnétique d'une sphère chargée
Considérons une sphère de rayon R.
Sphère uniformément chargée en volume
Si la sphère porte une densité volumique de charge ρ uniforme dans tout son volume, nous pouvons calculer sa masse électromagnétique en intégrant les forces d'interaction mutuelles entre toutes les paires infinitésimales de charges. La masse électromagnétique d'une telle sphère chargée est donnée par :
On peut également exprimer le même résultat en fonction de la charge totale Q portée par la sphère :
Sphère uniformément chargée en surface
Considérons cette fois-ci le cas où la sphère est chargée en surface, avec une densité surfacique de charge σ uniforme. On a alorsDavid J. Griffiths, Resource Letter EM-1: Electromagnetic Momentum, Am. J. Phys. 80, 7–18 (2012) :
ou,
Lien avec d'autres grandeurs physiques
Lien entre masse électromagnétique et impulsion du champ
Outre l'utilisation de la relation m=F/a, il existe d'autres méthodes permettant de calculer la masse électromagnétique d'un système ; l'une d'elles consiste à calculer l'impulsion du champ électromagnétique pour une vitesse arbitraire, puis à utiliser m=p/v. L'impulsion du champ électromagnétique est donnée par :
Pour deux corps liés 1 et 2 en interaction, on a :
et
ce qui implique :
Parmi les quatre termes obtenus, les deux premiers correspondent aux masses électromagnétiques individuelles des corps 1 et 2. Si l'on souhaite uniquement calculer la masse électromagnétique d'interaction entre 1 et 2, on ne doit prendre en considération que les deux derniers termes.
Cette méthode de calcul de la masse électromagnétique permet de retrouver exactement les mêmes résultats que par la méthode m=F/a dans toutes les situations (les deux méthodes découlent des équations de Maxwell et de la force de Lorentz).
Lien avec l'énergie magnétique
Une troisième méthode consiste à calculer, pour une vitesse , l'énergie Um emmagasinée dans le champ magnétique du système, puis à utiliser m=2Um /v². En effet, un corps chargé en mouvement accumule et stocke de l'énergie (sous forme magnétique) de la même manière qu'un corps massif en mouvement accumule de l'énergie cinétique (la masse est liée à l'énergie cinétique par la relation m=2Ec /v²).
L'énergie magnétique Um accumulée par un corps chargé en mouvement est, d'après le théorème de Poynting :
Le champ magnétique B engendré par le corps étant, d'après la loi de Biot-Savart, proportionnel à sa vitesse, le carré du champ magnétique est donc proportionnel au carré de la vitesse, ce qui permet de faire apparaître une quantité homogène à une masse (m=2Um /v²).
Pour deux corps liés 1 et 2 en interaction, on a :
ce qui implique :
Parmi les trois termes obtenus, les deux premiers correspondent aux masses électromagnétiques individuelles des corps 1 et 2. Si l'on souhaite uniquement calculer la masse électromagnétique d'interaction entre 1 et 2, on ne doit prendre en considération que le dernier terme. Dans ce cas, on trouve :
Lien avec l'énergie potentielle électrostatique et E=mc²
L'énergie potentielle d'interaction électrostatique de deux charges ponctuelles q1 et q2 est donnée par :