vignette| Valeurs de pour en échelle logarithmique. La ligne bleue sélectionne uniquement les valeurs de qui sont des multiples de 121. La fonction tau de Ramanujan, étudiée par Srinivasa Ramanujan, est la fonction définie par l'identité suivante :
où avec , est la fonction d'Euler, est la fonction êta de Dedekind, et la fonction est une forme parabolique de poids 12 et de niveau 1, connue sous le nom de forme modulaire discriminant. Elle apparaît être en relation avec un « terme d'erreur » impliqué dans le comptage du nombre de façons d'exprimer un entier comme une somme de 24 carrés. Une formule due à Ian G. Macdonald a été donnée dans .
Valeurs de Les premières valeurs de la fonction tau sont données dans le tableau suivant () : 123456789101112131415161−24252−14724830−6048−1674484480−113643−115920534612−370944−5777384018561217160987136
Les conjectures de Ramanujan Ramanujan (1916) remarque, sans le démontrer, les propriétés suivantes sur :
si (ce qui signifie que est multiplicative) pour premier et . pour tout premier .
Les deux premières propriétés ont été prouvées par Mordell (1917) et la troisième, appelée la conjecture de Ramanujan, a été prouvée par Deligne en 1974 à la suite de sa preuve des conjectures de Weil (plus précisément, il l'a déduite en les appliquant à une variété de Kuga-Sato).
Congruences pour la fonction tau Pour et , définissons comme la somme des ièmes puissances des diviseurs de . La fonction tau satisfait plusieurs relations de congruence ; beaucoup d'entre elles peuvent être exprimées en termes de . En voici quelques-unesPage 4 of :
Due to
Dû à
Due to Lahivi Due to D. H. Lehmer
Dû à
Pour premier, on a Dû à
Due to J.-P. Serre 1968, Section 4.5
Conjectures sur τ(n) Supposons que soit une entière de poids telle que ses coefficients de Fourier soient entiers. Soit le problème :
Étant donné que n'a pas de multiplication complexe, est-ce que pour presque tous nombres premiers , on a ?
En effet, la plupart des nombres premiers devraient avoir cette propriété, et sont par conséquent dits ordinaires. Malgré les grandes avancées de Deligne et Serre sur les représentations galoisiennes, qui déterminent pour premier à , on ne sait pas comment calculer . Le seul théorème à cet égard est le célèbre résultat d'Elkies pour les courbes elliptiques modulaires, qui garantit qu'il existe une infinité de nombres premiers tels que , qui sont donc congrus à 0 modulo . Il n'existe pas d'exemples connus de sans multiplication complexe de poids supérieur à 2 pour lequel pour une infinité de nombres premiers (bien que cela devrait être vrai pour presque tout ). Il n'y a pas non plus d'exemples connus avec pour une infinité de . Certains chercheurs avaient commencé à douter que pour une infinité de . Les seules solutions jusqu'à 1010 de l'équation sont 2, 3, 5, 7, 2411 et .
Lehmer (1947) a conjecturé que pour tout . Lehmer a vérifié sa conjecture jusqu'à (Apostol 1997, p. 22). Le tableau suivant récapitule l'avancée de la borne supérieure connue. référenceLehmer (1947)Lehmer (1949)Serre (1973, p. 98), Serre (1985)Jennings (1993)Jordan et Kelly (1999)Bosman (2007)Zeng et Yin (2013)Derickx, van Hoeij, et Zeng (2013)
Notes
Références
Catégorie:Srinivasa Ramanujan Catégorie:Fonction mathématique