droite|vignette|upright=1.6|Un domaine fondamental de l'anneau des entiers du corps obtenu à partir de en adjoignant une racine de . Ce domaine fondamental se trouve à l'intérieur de . Le discriminant de est . En conséquence, le volume du domaine fondamental est et n'est ramifié qu'en . En mathématiques, le discriminant d'un corps de nombres est un invariant numérique qui, moralement, mesure la taille de l'anneau des entiers de ce corps de nombres. Plus précisément, il est proportionnel au carré du volume du domaine fondamental de l'anneau des entiers, et il régule quels nombres premiers sont ramifiés.

Le discriminant est l'un des invariants les plus élémentaires d'un corps de nombres et apparaît dans plusieurs formules analytiques importantes telles que l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Dedekind de et la formule analytique des nombres de classe pour . Un théorème d'Hermite stipule qu'il n'y a qu'un nombre fini de corps de nombres de discriminant donné, mais la détermination de cette quantité est toujours un problème ouvert et fait l'objet de recherches..

Le discriminant de peut être appelé discriminant absolu de pour le distinguer du discriminant relatif d'une extension de corps de nombres. Ce dernier est un idéal dans l'anneau des entiers de et comme le discriminant absolu, il indique quels nombres premiers sont ramifiés dans . C'est une généralisation du discriminant absolu permettant à d'être plus grand que ; en effet, lorsque , le discriminant relatif de est l'idéal principal de engendré par le discriminant absolu de .

Définition Soit un corps de nombres, et soit l'anneau de ses entiers. Soit une base intégrale de (c'est-à-dire une base en tant que -module libre), et soit l'ensemble des plongements de dans (c'est-à-dire des morphismes de dans le corps des nombres complexes). Le discriminant de est le carré du déterminant de la matrice dont le coefficient (i, j) est . Formellement,

De manière équivalente, on peut utiliser la trace de sur . Plus précisément, définissons la forme trace comme étant la matrice dont le coefficient (i, j) est . Cette matrice vaut , donc le discriminant de est le déterminant de cette matrice.

Exemples

Corps quadratiques : soit d un entier sans facteur carré, alors le discriminant de est

Un entier qui apparaît comme le discriminant d'un corps quadratique est appelé un discriminant fondamentalDéfinition 5.1.2 de ..

Corps cyclotomiques : soit un entier, soit une racine primitive n-ième de l'unité, et soit le n-ième corps cyclotomique. Le discriminant de est donné parProposition 2.7 de .

où est la fonction indicatrice d'Euler, et le produit au dénominateur porte sur les nombres premiers p divisant n.

Bases de puissances : dans le cas où l'anneau des entiers peut s'écrire , le discriminant de est égal au discriminant du polynôme minimal de . Pour voir cela, on peut choisir comme base intégrale de . Alors, la matrice dans la définition est la matrice de Vandermonde associée à αi = σi(α), dont le déterminant au carré est

qui est exactement la définition du discriminant du polynôme minimal.

Soit le corps de nombres obtenu en adjoignant une racine α du polynôme . Il s'agit de l'exemple original de Richard Dedekind d'un corps de nombre dont l'anneau d'entiers ne possède pas de base de puissance. Une base intégrale est et le discriminant de est , ... Discriminants répétés : le discriminant d'un corps quadratique l'identifie de manière injective, mais ce n'est pas vrai en général, pour les corps de nombres de degré supérieur. Par exemple, il existe deux non isomorphes de discriminant . Ils sont obtenus en adjoignant une racine du polynôme ou , respectivement..

Résultats fondamentaux

Théorème de Brill. : le signe du discriminant est où est le nombre de plongements complexes de Lemme 2.2 de .. Un nombre premier p se ramifie dans si et seulement si p divise Cor. III.2.12 de .. Théorème de StickelbergerExerc. I.2.7 de . : Borne de MinkowskiProp. III.2.14 de . : soit n le degré de l'extension et le nombre de plongements complexes de , alors Théorème de MinkowskiTh. III.2.17 de . : si , alors (ceci découle directement de la borne de Minkowski). Théorème d'Hermite-MinkowskiTh. III.2.16 de . : soit un entier strictement positif. Il n'y a qu'un nombre fini (à isomorphismes près) de corps de nombres avec . Encore une fois, cela découle de la borne de Minkowski ainsi que du théorème d'Hermite.

Histoire droite|vignette|Richard Dedekind a montré que tout corps de nombres possède une base intégrale, lui permettant de définir le discriminant d'un corps de nombre arbitraire. La définition du discriminant d'un corps de nombres général a été donnée par Dedekind en 1871. À ce stade, il connaissait déjà la relation entre le discriminant et la ramification..

Le théorème d'Hermite est antérieur à la définition générale du discriminant, Charles Hermite en publiant une preuve en 1857.. En 1877, Alexander von Brill détermina le signe du discriminant.. Leopold Kronecker fut le premier à énoncer le théorème de Minkowski en 1882., mais la première preuve ne fut donnée qu'en 1891, par Hermann Minkowski.. La même année, Minkowski publia sa borne sur le discriminant.. Vers la fin du , Ludwig Stickelberger obtint son théorème sur le résidu du discriminant modulo 4.On trouve tous les faits de ce paragraphe dans ..

Discriminant relatif Le discriminant défini ci-dessus est parfois appelé discriminant absolu de pour le distinguer du discriminant relatif d'une extension de corps de nombres , qui est un idéal dans . Le discriminant relatif est défini de manière similaire au discriminant absolu, mais doit tenir compte du fait que les idéaux dans peuvent ne pas être principaux et qu'il peut ne pas y avoir de -base de Soit l'ensemble des plongements de dans qui sont l'identité sur . Si est une base quelconque de sur , soit le carré du déterminant de la matrice n par n dont le coefficient (i, j) est . Alors, le discriminant relatif de est l'idéal engendré par les lorsque varie sur toutes les bases intégrales de . Alternativement, le discriminant relatif de est la norme de la différente de . Lorsque , le discriminant relatif est l'idéal principal de engendré par le discriminant absolu . Dans une tour de corps , les discriminants relatifs sont liés par

où désigne la norme relativeCor. III.2.10 de ou Prop. III.2.15 de ..

Ramification Le discriminant relatif régule les données de ramification de l'extension de corps . Un idéal premier de se ramifie dans si, et seulement si, il divise le discriminant relatif . Une extension est donc non ramifiée si, et seulement si, son discriminant est l'idéal . La borne de Minkowski ci-dessus montre que n'a pas d'extension non ramifiée non triviale. En revanche, les corps plus grands que peuvent avoir des extensions non ramifiées : par exemple, si le nombre de classes d'un corps est strictement supérieur à 1, son corps de classes de Hilbert est une extension non triviale non ramifiée.

Relation avec d'autres grandeurs

Lorsqu'il est plongé dans , le volume du domaine fondamental de est (parfois une mesure différente est utilisée et le volume obtenu est ). En raison de son apparition dans ce volume, le discriminant apparaît également dans l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Dedekind de , et donc dans la formule analytique du nombre de classes, et le théorème de Brauer-Siegel. Le discriminant relatif de est le conducteur d'Artin de la représentation régulière du groupe de Galois de . Ceci fournit une relation aux conducteurs d'Artin des caractères du groupe de Galois de , appelée la formule conducteur-discriminantSection 4.4 de ..

Notes et références

Bibliographie

Catégorie:Théorie algébrique des nombres