En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités une fonction de taux est une fonction positive semi-continue inférieurement. Ces fonctions interviennent dans l'étude des grandes déviations et permettent de quantifier les probabilités d'évènements rares.
Définition Soit un espace topologique séparé et une fonction positive à valeurs dans la droite réelle achevée. On dit que est une fonction de taux si elle est semi-continue inférieurement, c'est-à-dire que :
pour tout l'ensemble est fermé.
Si de plus ces ensembles sont tous compacts alors on dit que est une bonne fonction de taux.
Propriétés et exemples
Si est une bonne fonction de taux alors possède un minimum sur tout fermé. Autrement dit atteint son infimum sur tout fermé. La transformée de Cramér d'une variable aléatoire à valeurs dans est toujours une fonction de taux. Plus précisément si est une variable aléatoire à valeurs dans et si on note
la fonction génératrice des cumulants de et
la transformée de Legendre-Fenchel de , alors est une fonction de taux convexe. Si de plus 0 appartient à l'intérieur de l'ensemble alors est une bonne fonction de taux convexe.
Bibliographie
Voir aussi
Principe de grandes déviations Théorème de Cramér
Catégorie:Théorie des probabilités