En arithmétique modulaire, le lemme de Thue établit que tout entier modulo peut être représenté par une « fraction modulaire » dont le numérateur et le dénominateur sont, en valeur absolue, majorés par la racine carrée de . La première démonstration, attribuée à Axel ThueEn 1917 ou 1902 : A. Thue, « Et bevis for at lignigen A + B = С er remulig i hele fra nul forsk jellige tal A, B og С », Archiv. for Math. og Naturvid, vol. 34, , 1917, selon et ; , selon ., utilise le principe des tiroirs.. Appliqué à un entier modulo lequel –1 est un carré (en particulier à un nombre premier congru à 1 modulo 4) et à un entier tel que , ce lemme fournit une expression de comme somme de deux carrés premiers entre eux, ..
Énoncé Soient et deux entiers.
Shoup démontre cet énoncé dans le cas particulier où et sont entiers, theorem 2.33., puis l'applique à , pour non carré, theorem 2.34..
LeVeque préfère appliquer la variante suivante à : pour tout réel tel que , il existe des entiers et tels que Dans la version de de ce lemme, l'hypothèse pourtant indispensable est remplacée par , et l'hypothèse additionnelle de LeVeque ne suffit pas à garantir la condition supplémentaire qu'il énonce dans sa conclusion.. Cette variante se déduit de l'énoncé ci-dessus, appliqué à un réel suffisamment proche de .
Remarque En général, la solution dont ce lemme garantit l'existence n'est pas unique et le rationnel lui-même ne l'est pas : par exemple, si et , on a deux solutions . Sous d'autres hypothèses. — incompatibles cependant avec celles du lemme de Thue — l'éventuelle solution est unique.
Théorème de Brauer et Reynolds Le lemme de Thue se généralise, transcrit dans , . en remplaçant les deux inconnues par s inconnues et la congruence linéaire par le système homogène de r congruences associé à une matrice à coefficients entiers à r lignes et s colonnes :
Application aux sommes de deux carrés Le lemme de Thue permet par exemple de démontrer la proposition suivante, utile dans le théorème des deux carrés :
Réciproquement, si avec et premiers entre eux (donc premiers avec ) alors est le carré modulo de l'entier défini modulo par .
Références
Articles connexes Lemme de Siegel Théorème de Minkowski
Catégorie:Approximation diophantienne Thue