La décomposition d'Adomian est une méthode semi-analytique de résolution d'équations différentielles développée par le mathématicien américain durant la seconde partie du . On rencontre fréquemment l'utilisation d'ADM pour .
Généralités
On considère le problème de Cauchy suivant :
Cette équation vérifiée par est générale dans la mesure où peut être à valeurs vectorielles et que nous n'avons pas de condition sur . Il faut bien noter que dans cette méthode, il est plus commode de considérer comme un vecteur et comme une fonction pour éviter des confusions :
Considérant que est analytique proche de et , résoudre le problème initial revient à résoudre :
Méthode d'Adomian
La méthode d'Adomian consiste à décomposer comme une série :
et à décomposer de la même manière la fonction :
où les fonctions sont les polynômes d'Adomian, calculés formellement comme-ci :
En injectant les deux premières décompositions dans l'équation intégrale, on peut en déduire une méthode itérative de calcul des :
Pouvant calculer à la suite chaque , on construit au fur et à mesure la solution finale par sommation.
Polynômes en dimension 1
Dans cette section on se restreint à . Les premiers polynômes d'Adomian (les dérivées correspondent à des dérivées partielles par rapport à ) sont alors :
Bibliographie Abdelrazec, Ahmed. Adomian Decomposition Method : Convergence Analysis and Numerical Approximations [En ligne] (Thesis, Mathematics) McMaster University (Hamilton, Ontario), 2008 lien Adomian, G. (1994). Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method. Kluwer Academic Publishers
Voir aussi Résolution numérique des équations différentielles
Liens externes
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