En physique théorique, des équations différentielles, posées en termes de champs tensoriels, sont une manière très générale pour exprimer les relations à la fois géométriques par nature et liées au calcul différentiel. Pour formuler de telles équations, il faut connaître la dérivée covariante. Cela permet d'exprimer la variation d'un champ tensoriel le long d'un champ vectoriel. La notion d'origine du calcul différentiel absolu, plus tard renommé calcul tensoriel, amena à l'isolation du concept géométrique de connexion.
Développé simultanément par W. Voigt et G. Ricci et son étudiant Tullio Levi-Civita à partir du calcul dyadique de Willard Gibbs, c’était un outil d’analyse de l’éther luminifère avant qu’il serve au développement mathématique de la relativité générale d’Albert Einstein. Comparativement au calcul vectoriel, il permet de s'affranchir du système de coordonnées au prix d'une complexification des calculs. Le calcul tensoriel trouve des applications dans la théorie de l’élasticité, la mécanique des milieux continus, l’électromagnétisme, l’apprentissage profond et la relativité générale (voir Mathématiques de la relativité générale).
Notes et références
Bibliographie