Lämpöyhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämmön johtumista aineessa. Yksinkertaisimmillaan yhtälö tiivistyy muotoon , joka on tyypillinen esimerkki parabolisesta osittaisdifferentiaaliyhtälöstä. Lämpöyhtälön johtaminen Tarkastellaan avointa avaruuden osajoukkoa , ja olkoon lämpötila, aineen sisäenergia (J/kg) ja lämpövuo (J/(m^2 s)). Energia tarkasteltavassa alueessa voidaan kirjoittaa , missä on aineen tiheys. Toisaalta energiaa poistuu alueesta nopeudella , missä on alueen yksikköulkonormaali. Gaussin divergenssilauseen avulla jälkimmäinen lauseke voidaan kirjoittaa muotoon , ja energian säilymisestä saadaan tällöin yhtälö . Koska nyt derivointi voidaan viedä integraalin sisään ja yhtälö pätee mielivaltaiselle alueelle, saadaan yhtälö . Toistaiseksi tarkasteluissa ei ole käytetty fysiikkaa lainkaan. Fourierin laki kertoo kuitenkin lämpövuon ja lämpötilan välillä olevan yhteyden , joka kertoo lämmön virtaavan siihen suuntaan, missä lämpötila laskee nopeimmin. Lisäksi aineen sisäenergian ja lämpötilan välillä on yhteys , missä on aineen ominaislämpökapasiteetti (J/(kgK)). Sijoittamalla nämä aiemmin saatuun yhtälöön saadaan nyt . Jos Fourierin lain kerroin (lämmönjohtumisvakio) ei riipu paikasta, saadaan ,
missä on Laplacen operaattori.
Luokka:Osittaisdifferentiaaliyhtälöt
ru:Уравнение диффузии