Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku. Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.
Sarjan summa
Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.
Esimerkki
Voidaan päätellä, että
Tämän sarjan osasummien jonolla
on raja-arvo
Esimerkki
Otetaan esimerkiksi yhden metrin pituinen lanka. Puolitetaan se ja näin saaduista identtisistä palasista puolitetaan taas toinen. Prosessia jatketaan äärettömiin. Näin on todettu, että
Sarjan osasummia ovat
Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on
Jos raja-arvo on olemassa eli jos sarjan summa voidaan määrittää, sarja suppenee. Jos raja-arvoa ei ole eikä sarjan summaa voida määrittää, sarja hajaantuu.
Aritmeettinen ja geometrinen sarja
Sarja on aritmeettinen, jos lukujono on muotoa eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio .
Sarja on geometrinen, jos lukujono on muotoa eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio .
Kaavoja ja sääntöjä
Sarja hajaantuu, jos tai ei ole olemassa. Vuorotteleva sarja eli sarja, jonka joka toinen termi on positiivinen, joka toinen negatiivinen, suppenee jos ja vain jos
Aliharmoninen sarja hajaantuu. Harmoninen sarja hajaantuu. Yliharmoninen sarja suppenee. Geometrinen sarja suppenee, kun tai . Tällöin
Esimerkkejä
Määritetään sarjan summa.
Osasumma Summa on geometrinen summa; , termejä . .
Sarjakehitelmä Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.
Lähteet
Kirjallisuutta
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit