Derivaatta tarkoittaa matematiikassa reaaliarvoja saavan funktion herkkyyttä muutokselle yhden sen riippumattoman muuttujan suhteen. Derivaatta on matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Se johdetaan funktion tietyn välin keskimääräisestä muutosnopeudesta, jonka arvosta määritetään raja-arvon avulla muutosnopeus yhdessä kohtaa. Sanaa derivaatta käytetään suomessa sekä funktion derivaatan arvon että sen derivaattafunktion synonyyminä.
Jos rajoitutaan yhden muuttujan funktioihin, voidaan muutosnopeuden keskiarvoa kuvata funktion kuvaajan keskimääräiseksi jyrkkyydeksi. Sitä havainnollistetaan esimerkiksi Suomen lukioiden matematiikan oppimäärissä kuvaajan sekantilla (keskimääräinen muutosnopeus), jonka kulmakerroin on kyseisellä välillä funktion jyrkkyyksien likiarvo. Mitä pienempi on sekantin rajaama väli, sitä paremmin sen jyrkkyys vastaa funktion kuvaajan jyrkkyyksiä kyseisellä välillä. Lopulta, kun väliä pienennetään raja-arvon avulla pisteeksi, saadaan derivaatta (muutosnopeus yhdessä kohdassa). Sitä havainnollistetaan yleensä tangentilla, jonka kulmakerroin on derivaatan arvon suuruinen.
Yhden muuttujan derivaatta voidaan yleistää usean muuttujan funktioille, jossa sitä kutsutaan funktion differentiaaliksi, mutta termiä differentiaali voidaan käyttää myös yhden muuttujan funktioille. Differentiaali on funktion kokonaismuutoksen lineaarinen osa, joka esitetään usean muuttujan funktioiden tapauksessa Jacobin matriisin avulla.
Yhden reaalimuuttujan funktiot pienoiskuva|Sekantin asennon kääntyminen tangentiksi. Määritelmä kahden kohdan avulla Yhden reaalimuuttujan funktion derivaatan formaalinen määritelmä käyttää aina hyväkseen sen muutosnopeuden raja-arvoa. Seuraavassa funktion muutosnopeutta ilmaistaan sen erotusosamäärällä käyttäen valitun välin päätepisteitä ja
Merkinnällä tarkoitetaan suureen arvojen muutosta tai erotusta . Välin jälkimmäistä päätepistettä siirretään lähemmäksi välin ensimmäistä päätepistettä . Tämä merkitään raja-arvon arvolla
Tällöin voidaan sanoa (jos raja-arvo on olemassa), että funktiolla on derivaatan arvo kohdassa , joka merkitään tavallisesti .
Määritelmä välin pituuden avulla pienoiskuva|Erotusosamäärä ja sekantti. Toisessa yleisessä määritelmässä erotusosamäärä muodostetaan pisteiden ja avulla, missä luku on pisteiden välinen etäisyys. Sijoittamalla tämä erotusosamäärään saadaan
Nyt väliä voidaan raja-arvossa pienentää pienentämällä lukua , jolloin saadaan (mikäli raja-arvo on olemassa) derivaatan arvo pisteessä
Funktion kulun tarkastelu Derivaattafunktion avulla saadaan selville sellaiset kohdat, joissa alkuperäinen funktio mahdollisesti muuttaa kulkusuuntaansa. Näissä kohdissa derivaattafunktion arvo on nolla (eli funktion kulmakerroin on 0). Derivaattafunktion merkki - ja funktion kulkusuunta - voi vaihtua vain derivaatan nollakohdassa. Mikäli tällaisia kohtia ei ole, on funktio aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.
Esimerkiksi kolmannen asteen funktio derivoituu sääntöjen mukaisesti muotoon . Laskemalla derivaattafunktion nollakohdat, jotka ovat ja saadaan selville kohdat joissa alkuperäinen funktio todennäköisesti vaihtaa kulkusuuntaansa. Lasketaan derivaatan arvo kunkin nollakohdan kummallakin puolella, esimerkiksi pisteissä -2, 0 ja 2. Jos saatu arvo on negatiivinen, on funktion kuvaaja laskeva, jos positiivinen, on funktion kuvaaja nouseva. +Funktion kulkukaavio-5/31+-+nousevalaskevanouseva
Mikäli funktion kulkua tarkasteltaisiin suljetulla välillä , huomattaisiin, että funktio saisi suurimman ja pienimmän arvonsa kyseisissä derivaatan nollakohdissa. Nämä kohdat ja ovat funktion paikallisia maksimi- ja minimikohtia. Funktiolla ei kuitenkaan ole suurinta tai pienintä arvoa, kun tarkasteluvälinä on koko reaaliakseli, koska sen arvojoukko on negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen.
Derivaatan olemassaolo pienoiskuva|Kuvan funktio on derivoituva muualla paitsi kohdassa x = 0. Derivaatta on olemassa pisteessä , mikäli erotusosamäärän raja-arvo on äärellinen ja se voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Käyttämällä hyväksi toispuoleisen derivaatan käsitteitä, voidaan derivaatan olemassaolo ilmaista niin, että sekä vasemmanpuoleisen että oikeanpuoleisen derivaatan tulee olla olemassa ja niiden arvojen tulisi olla yhtä suuret.
Vaikeasti käyttäytyvillä funktioilla ei riitä erotusosamäärän raja-arvon intuitiivinen sievennys, vaan tarvitaan täsmällisempi matemaattinen määritelmä. Sellainen on esimerkiksi .
Toisin sanoen kaikille ehdotetuille luvuille löytyy siitä riippuva luku siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle :in päässä raja-arvosta eli derivaatan arvosta, kun muuttujan arvot ovat alle :n päässä lähestyttävästä arvosta. Mikäli aina lukua pienennettäessä, löytyy edellistä pienempi , voidaan pitää osoitettuna, että raja-arvo tulee löytymään.
Yhden muuttujan derivaattafunktio Derivaattafunktio tarkoittaa sellaista lauseketta, jolla voi laskea funktion derivaatan arvon kyseisessä kohdassa ilman raja-arvon määritystä. Tällaisen funktion määrittämistä kutsutaan derivoimiseksi. Derivointifunktiota kutsutaan yleisesti myös derivaataksi. Derivaattafunktion määrittelyjoukko voi olla sama kuin funktion määrittelyjoukko, mutta toisinaan se on suppeampi väli.
Määritetään funktion derivaattafunktio missä funktion määrittelyjoukon pisteessä hyvänsä. Niissä pisteissä, missä raja-arvo on määritelty, saadaan derivaattafunktioksi (käytetään toista määritelmää)
Tämän derivaattafunktion määrittelyjoukko saadaan, kun raja-arvon kannalta määrittelemättömät kohdat jätetään funktion määrittelyjoukosta pois.
Esimerkiksi funktion derivaattafunktio määritetään seuraavasti. Merkitään lausekkeet erotusosamäärään ja määritetään raja-arvo:
Lausekkeella voi helposti laskea funktion derivaatan arvoja ilman, että raja-arvoa tarvitsee enää määrittää.
Tilanteita, jossa derivaatan arvoa ei voi funktion määrittelyalueelta määrittää, liittyvät esimerkiksi funktion liian suureen jyrkkyyteen. Silloin funktion kuvaajalle piirretty tangentti on pystysuora, jolle ei ole määritelty kulmakerrointa. Jos derivaatta voidaan määrittä kaikissa muissa funktion määrittelyjoukon kohdissa, muodostuu tästä derivaattafunktion määrittelyjoukko. Laajin väli, missä derivaatta on mielekästä määrittää, on funktion oma määrittelyjoukko.
Derivaatta-operaattori ja muita merkintätapoja Operaattoria, jolla funktion derivoinnin aikomus ilmaistaan, merkitään derivaatta-operaattorilla. Suomenkin lukiokoulutuksessa on yleisesti käytössä iso D-kirjain. Edellisen esimerkin derivointia merkitään sillä
Toinen yleinen merkintä "pilkku"-merkintä, jossa funktion derivaattafunktiota merkitään
Tässä Leonhard Eulerin ja Louis Langrangen mukaan nimetyssä nk. Euler-Lagrange-merkintätavassa oletetaan, että lukija tuntee muuttujan, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Tämän vuoksi sitä käytetään pääasiassa yhden muuttujan derivoinnissa, ja sekin on siten yleinen esimerkiksi suomalaisessa koulumatematiikassa. Mikäli muuttujana on aika (merkitään t), kuten fysiikassa on yleistä, käytetään "piste"-merkintää
Useamman muuttujan funktioissa voidaan suorittaa derivointi yhdelle muuttujalle, joka tulee ilmoittaa lukijalle alaindeksinä tai uudella merkinnällä
Merkinnät ja tarkoittavat suureiden ja differenssejä ja nimittäjästä voidaan päätellä, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritetaan.
Derivaatan arvo jossakin kohdassa merkitään vastaavasti , , tai
Moninkertaiset derivaatat Kun funktion :n derivaattafunktio on myös derivoituva, voidaan funktiota kutsutaan kahdesti derivoituvaksi. Kahdesti derivoitu funktio eli toinen derivaatta määritetään
ja merkitään , tai . Derivaattafunktioiden derivaattoja tarvitaan monissa sovelluksissa. Silloin voidaan yleistää, että jos :n :s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on kertaa derivoituva, ja sen :ttä derivaattaa merkitään , tai .
Jos funktion (:s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan ( kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion :s derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on -funktio. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, niin funktion sanotaan olevan -funktio.
Eräiden alkeisfunktioiden derivointia Seuraavassa luettelossa on eräiden alkeisfunktioiden derivaattojen muistikaavoja. Siinä ei oteta kantaa funktion ja derivaatan määrittelyjoukkoihin. Potenssin derivaatta Trigonometristen funktioiden derivaatat Arkusfunktioiden derivaatat , missä Eksponenttifunktion derivaatta Hyperbolisten funktioiden derivaatat Hyperbolisten käänteisfunktioiden eliareafunktioiden derivaatat , missä Logaritmifunktioiden derivaatat , missä ja
Potenssin derivaatta Siinä tapauksessa, että eksponentti n on positiivinen kokonaisluku tai nolla, potenssin xn derivaattafunktio voidaan määrittää derivaatan määritelmän mukaan
jolloin potenssifunktiolle saadaan
Koska ,
missä vastaa kunkin termin binomikerrointa (erityisesti ja ), voidaan erotusosamäärä kirjoittaa
Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion derivaatta.
Edellä sääntö on todistettu siinä tapauksessa, että eksponentti a on positiivinen kokonaisluku. Voidaan kuitenkin osoittaa, että sama tulos pätee, olipa a mikä reaaliluku tahansa.
Ensinnäkin jos eksponentti k = -n on negatiivinen kokonaisluku, on määritelmän mukaan .
Osamäärän derivoimissääntö yksinkertaistuu tässä tapauksessa muotoon
Näin voidaan todeta, että sääntö pätee myös eksponentin negatiivisilla kokonaislukuarvoilla.
Eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaattojen lausekkeista ja sekä yhdistetyn funktion derivoimissäännöstä seuraa edelleen, että olipa a mikä reaaliluku tahansa, on aina .
Yleisiä derivointisääntöjä Mikäli funktio on alkeisfunktioiden yhdistelmä, kuten niiden summa, erotus, tulo, osamäärä tai yhdistelmä, voidaan niitä derivoida seuraavien sääntöjen puitteissa. Säännön nimi Derivointisääntö Vakion derivaatta , kun on vakio. Vakion siirto Summan derivaatta Tulon derivaatta Funktion potenssin derivaatta Osamäärän derivaatta Yhdistetyn funktion derivaatta Käänteisfunktion derivaatta , jossa on :n käänteisfunktio.
Vakiofunktion derivointi voidaan suorittaa määritelmän kautta seuraavasti:
Yhden kompleksimuuttujan funktiot Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia , ja tietyssä alueessa G (sisältää luvun ) määriteltyä kompleksifunktiota , pystytään joskus määrittämään funktion derivaatta. Holomorfinen funktio Derivaatta on olemassa, mikäli toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt ja sen osittaisderivaatat ovat pisteen ympäristössä G jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan holomorfisiksi funktioiksi. Silloin raja-arvo
voidaan määrittää yksikäsitteisesti.
Derivaatan olemassaolon toteaminen Esimerkiksi toisen asteen kompleksifunktio voidaan kirjoittaa auki
Derivaatan olemassaolo voidaan todeta muodostamalla funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat
ja
Koska saadut osittaisderivaatat ovat polynomeina jatkuvia ja ne toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt
ja
on funktio derivoituva.
Kompleksifunktioiden derivointikaavat Kompleksisten alkeisfunktioiden derivointisäännöt ja yleiset derivointisäännöt säilyvät samanlaisina kuin reaalimuuttujaisilla alkeisfunktioilla.
Usean muuttujan funktiot Yhden muuttujan funktion derivointi voidaan yleistää vektoriarvoisen muuttujan vektoriarvoiseen funktion derivaattaan. Vektorilla voidaan esittää useamman muuttujan funktion määrittelyjoukkoa. Funktion kuvaus on tällöin . Vektoreissa voidaan käyttää myös kompleksimuuttujia. Derivaatta määritellään tällaisilla funktioilla luonnollisella tavalla. Osittaisderivaatta Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä osittaisderivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhden muuttujansa suhteen. Osittaisderivoitaessa yhtä muuttujaa, muita muuttujia kohdellaan kuin vakioita. Sitä käytetään, kun halutaan tietää yhden muuttujan muutoksen vaikutus funktion arvoihin.
Suunnattu derivaatta