Mittateoriassa ja funktionaalianalyysissä, oleellinen supremum ja oleellinen infimum ovat supremumin ja infimumin käsitteiden yleistyksiä mitallisille funktioille ja joukoille. Ideana on määritellä funktion oleellinen yläraja siten, että se pätee melkein kaikkialla. Toisin sanottuna, niiden pisteiden joukko, joiden kuva on suurempi kuin oleellinen yläraja, on nollamittainen.
Intuitiivisesti, funktion oleellinen infimum on pienin arvo, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin funktion arvot kaikkialla, kun funktion arvot nollamittaisilla joukoilla jätetään huomiotta. Otetaan esimerkiksi funktio , jonka arvo on nolla kaikkialla paitsi määrittelyjoukon pisteen nolla kohdalla, jossa määritellään . Funktion supremum on tällöin yksi. Sen oleellinen supremum on kuitenkin nolla, koska yhden pisteen muodostama joukko on nollamittainen. Oleellinen infimum määritellään samankaltaisesti.
Määritelmä Kuten mittateoriassa yleensä, määritelmä perustuu tiettyjen mitallisten joukkojen alkukuviin.
Olkoon funktio joukosta reaalilukujen joukkoon. Reaaliluku on funktion yläraja, jos kaikille joukon alkioille pätee , eli toisin sanottuna jos
on tyhjä . Määritellään funktion ylärajojen joukko seuraavasti:
Tällöin funktion supremum määritellään
jos joukko ei ole tyhjä, ja jos on tyhjä.
Vaihtoehtoisesti, supremum on sellainen reaaliluku , jolle pätee: jos siten että kaikille , niin sitten .
Oletetaan nyt lisäksi, että on mitta-avaruus, ja että funktio on mitallinen. Reaaliluku on funktion oleellinen yläraja, jos joukko on nollamittainen, eli jos melkein kaikille joukon alkioille pätee . Määritellään funktion oleellisten ylärajojen joukko seuraavasti:
Tällöin oleellinen supremum määritelläänPlanetMath (supremumin lailla)
jos ja muuten .
Vaihtoehtoisesti, oleellinen supremum on sellainen reaaliluku , jolle pätee: jos siten että melkein kaikille , niin sitten .Dieudonne, s. 172
Oleellinen infimum määritellään täysin vastaavasti oleellisten alarajojen supremumina:
jos oleellisten alarajojen joukko ei ole tyhjä, ja muuten .
Lebesgue-mitalliselle joukolle
Olkoon Lebesguen mitan mitta-avaruus. Lebesgue-mitallisen joukon oleellinen supremum (infimum) määritellään inkluusiokuvauksen oleellisena supremumina (infimumina). Yksityiskohtaisesti, joukon oleellinen supremum on
ja oleellinen infimum
Terminologiaa
Jos funktion tai joukon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti ylhäältä rajoitettu. Jos funktion tai joukon oleellinen infimum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti alhaalta rajoitettu. Jos funktion itseisarvon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti rajoitettu.
Ominaisuuksia
Jos , niin . Jos on nollamittainen, niin ja .Dieudonne, s. 173 aina kun molemmat oikeanpuoleiset termit eivät ole negatiivisia.
Katso myös
Mittateoria Borel-joukko Supremum Infimum L p-avaruus
Lähteet
PlanetMath, Essential supremum Viitattu 1.3.2021. Dieudonné, J. Treatise on analysis. Volume II. Enlarged and corrected printing. Academic press. New York, San Francisco, London. 1976.
Viitteet
Aiheesta muualla
Rowland, Todd. "Essential Supremum." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. https://mathworld.wolfram.com/EssentialSupremum.html. Luettu 1.3.2021.
Luokka:Mittateoria Luokka:Funktionaalianalyysi Luokka:Integraalilaskenta