Alkulukufunktio on matematiikan funktio, jolla lasketaan reaalilukua x pienempien tai yhtäsuurten alkulukujen lukumäärää.A table of prime counts pi(x) to 1e16 Funktion merkintä on (Kaavassa π(x) ei viitata lukuun π.) thumb|400px|Funktion π(n) ensimmäiset 60 lukua.
Historiaa
1700-luvulla löysivät Gauss ja Legendre että
on hyvä approksimaatio alkulukufunktiolle; tarkemmin,
Tämä lauseke tunnetaan alkulukulauseena; se todistettiin 1800-luvun lopulla oikeaksi. Väite voidaan kirjoittaa yhtäpitävästi muodossa
jossa on logaritminen integraalifunktio.
Littlewoodin lause John Littlewood todisti 1914 että on olemassa mielivaltaisen suuria lukuja x, joille
ja mielivaltaisen suuria lukuja x, joille
Tästä seuraa että erotuksen π(x) − li(x) merkki vaihtuu äärettömän usein.
Riemannin hypoteesi
Riemannin hypoteesi on ekvivalentti seuraavaan kaavaan:
Riemannin hypoteesi siis antaisi alkulukufunktion antamalle arviolle alkulukujen määrästä huomattavasti nykyistä tiukemmat virherajat.
Lähteet
Luokka:Analyyttinen lukuteoria