Juurifunktio on muuttujan matemaattinen funktio, joka on potenssifunktion erikoistapaus. Se voidaan esittää yleistettynä
missä on potenssi ja yksikkömurtoluku sen eksponentti. Eksponentissa luku kutsutaan myös juuren asteeksi. Yleensä juurifunktiot rajoitetaan asteisiin n = 2, 3, 4, ..., vaikka myös aste n = 1 sopisi ominaisuuksiensa puolesta juurifunktioksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä
Juurifunktion ominaisuuksia Juurifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli laskettavuuden parantamiseksi. Jos juuren aste on parillinen, on määrittelyjoukko rajoitettu , mutta parittomalla asteella käyvät kaikki reaaliluvut. Tästä seuraa kuitenkin eräs yllättävä ongelma kompleksiluvuilla. Esimerkiksi negatiivisten lukujen kuutiojuuren arvon määrityksenä voisi käyttää potenssilaskennan päättelyä, jolla On kuitenkin olemassa kolme kompleksilukua, joiden kolmas potenssi on . Jos juurilausekkeen arvoksi kelpuutetaan myös kompleksiluvut, valitaan näistä oletusarvoisesti se, jonka napakulman itseisarvo on pienin ja jos kahden kompleksiluvun napakulmien itseisarvot ovat samat, valitaan näistä positiivinen vaihtoehto. Lukujen napakulmat ovat vastaavasti ja siksi lausekkeen arvoksi valitaan . pienoiskuva|Juurifunktiot, joilla on pariton aste.pienoiskuva|Juurifunktiot, joilla on parillinen aste. Parillisuus ja parittomuus Juurifunktioille, joiden aste on parillinen luku, ei ole mielekästä määrittää parillisuutta ja parittomuutta, koska jo määrittelyjoukko käsittää vain positiiviset reaaliluvut. Sen sijaan parittomilla juurifunktioilla määrittelyjoukkona on kaikki reaaliluvut. Parittomat juurifunktiot ovat parittomia funktioita.
Monotonisuus Kaikki juurifunktiot ovat aidosti monotonisia ja vieläpä aidosti kasvavia funktioita.
Käänteisfunktiot Juurifunktioiden käänteisfunktiot ovat potenssifunktioita, joiden eksponentit ovat luonnollisia lukuja . Neliöjuurifunktion käänteisfunktio on toisen asteen potenssifunktio eli kvadraattinen funktio Kuutiojuurifunktion käänteisfunktio on
Yleistäen voidaan todeta, että käänteisfunktiot ovat parillisilla asteilla
ja parittomilla asteilla
Derivointi ja integrointi Yleinen potenssien derivaatta, kun lasketaan
Kun juurifunktion aste on , tulee derivaataksi
tai vaihtoehtoisesti
Neliöjuuren derivaatta on siten
ja kuutiojuuren derivaatta
ja neljäsjuuren derivaatta
n-asteisen juurifunktion yleinen integraalifunktio saadaan
eli
Silloin neliöjuuren integraali on
ja kuutiojuuren integraali
Kompleksiluvut Juurifunktioiden määrittelyjoukko voidaan laajentaa koskemaan kompleksilukuja . De Moivre'n teoreemassa, jossa kompleksiluvun reaalilukuinen potenssi esitetään polaarisessa muodossa
voidaan vaihtaa potenssi yksikkömurtoluvuksi
kun
Neliöjuuri Neliöjuurelle saadaan kaksi arvoa, kun ja
Ensimmäinen juuri on arvoltaan
ja toinen
eli
Esimerkki neliöjuurella Jos lasketaan kompleksiluvun neliöjuuri, muutetaan se ensin polaarimuotoon. Modulus on ja napakulma eli Siten Neliöjuureksi saadaan sitten kaksi arvoa
Kuutiojuuri Kuutiojuuri antaa kolme arvoa, kun
Neljäsjuuri Neljäs antaa neljä arvoa, kun
Katso myös Alkeisfunktio Imaginaariluku Juuri (laskutoimitus) Neliöjuuri Kuutiojuuri
Lähteet
Viitteet
Kirjallisuutta
Aiheesta muualla Etälukio: Juurifunktio Jyväskylän Yliopisto: Potenssi- ja juurifunktiot sekä rationaalipotenssit
Luokka:Analyysi Luokka:Differentiaalilaskenta Luokka:Funktiot