Yksikköjuuri tai ykkösenjuuri on kompleksiluku, joka korotettuna annetun positiivisen kokonaisluvun n osoittamaan potenssiin on 1. Toisin sanoen n:nnet yksikköjuuret ovat yhtälön
ratkaisuja kompleksilukujen joukossa.
Moivren ja Eulerin kaavat
Kutakin positiivista kokonaislukua n kohti on olemassa n kpl n:siä yksikköjuuria. Ne sijaitsevat kaikki kompleksitasoon piirretyn yksikköympyrän kehällä ja muodostavat tämän ympyrän sisään piirretyn säännöllisen n-kulmion kärkipisteet, kun yksi kärkipisteistä on pisteessä 1. Yksikköjuurten arvot voidaan esittää muodossa
missä luku k saa kaikki kokonaislukuarvot 0:sta n-1:een. Tämä seuraa Moivren kaavasta, jonka mukaan .
Eulerin kaavan mukaisesti nämä luvut voidaan esittää myös muodossa (k=0, 1, …, n-1).
Tavallisesti n:nnellä yksikköjuurella tarkoitetaan näistä luvuista nimenomaan sitä, jossa k = 1, siis lukua
Sille käytetään myös merkintää .
Yksikköjuurten avulla voidaan muun muassa ratkaista yleinen binomiyhtälö , missä q on mielivaltainen kompleksiluku (≠ 0). Kun q voidaan aina esittää muodossa , ovat yhtälön ratkaisut .
Esimerkkejä
Esimerkiksi toisen yksikköjuuren arvot ovat 1 ja -1, neljännen 1, i, -1 ja -i, jotka sijaitsevat kompleksitasoon piirretyn neliön kärkipisteissä. Kolmannen yksikköjuuren (ε3k) arvot ovat 1 sekä , jotka muodostavat tasasivuisen kolmion. Kuudennen yksikköjuuren (ε6k) vastaavasti 1 ja -1 sekä , ja kahdeksannen (ε8k) 1, i, -1 ja -i sekä .
Lähteet
Kirjallisuutta – (eBook)
Luokka:Kompleksiluvut