220px|thumb|Lausetta vastaava Venn-diagrammi 220px|thumb|Lausetta vastaava Venn-diagrammi
Konjunktio on propositiologiikassa kaksipaikkainen looginen konnektiivi, joka vastaa yleiskielen sanaa ja. Sillä muodostettu yhdistetty lause on tosi, jos molemmat sen yhdistämät lauseet ovat tosia, muussa tapauksessa epätosi. Lauseiden A ja B konjunktiolle käytetään merkintää .
Konjunktioon läheisesti liittyviä käsitteitä muissa yhteyksissä ovat:
joukko-opissa leikkaus predikaattilogiikassa universaalikvanttori eli kaikki-kvanttori elektroniikassa konjunktiota vastaa AND-portti.
Merkinnät
Loogiselle konjunktiolle käytetään kirjallisuudessa useita eri symboleja. Sanan "ja" () ohella sille käytetään yleisesti symbolia "", Esimerkiksi "A B " luetaan "A ja B". Tällainen konjunktio on tosi vain jos sekä A että B ovat tosia lauseita, muussa tapauksessa se on epätosi.
Kaikki seuraavat ovat konjunktiota:
Boolen algebrassa konjunktiolle käytetään merkintää . Jan Lukasiewiczin prefiksinotaatiossa disjunktion merkkinä käytetään K-kirjainta, joka on lyhenne puolan kielen sanasta koniunkcja. Tällöin lauseiden p ja q konjunktio merkitään Kpq.
Eri ohjelmointikielissä konjunktiota vastaava operaattori merkitään tavallisimmin joko sanalla and tai kahdella et-merkillä (&&).
Totuustaulu
thumb|Vasemmalla olevien argumenttien konjunktiot: arvon tosi saavat bitit muodostavat Sierpinskin kolmion.
Operaation totuustaulu on seuraava:
LAUSEET KONJUNKTIO tosi tosi tositosi epätosi epätosiepätosi tosi epätosiepätosi epätosi epätosi
Ominaisuudet
Looginen konjunktio noudattaa laskulakeja, jotka pitkälti ovat analogisia esimerkiksi reaalilukujen laskusäännöille. Se on vaihdannainen ja liitännäinen, ja sille pätee myös osittelulaki, kun toisena laskutoimituksena on looginen disjunktio. Konjunktio on lisäksi idempotentti eli minkä tahansa lauseen konjunktiolla itsensä kanssa on sama totuusarvo kuin alkuperäisellä lauseella. Tätä havainnollistavat seuraavat kaaviot:
Vaihdannaisuus 50px 50px
Liitännäisyys 50px50px 50px 50px50px
Osittelulaki loogisen disjunktion suhteen 50px50px 50px 50px50px
muita liitännäisyys eksklusiivisen diskunktion suhteen: 50px50px 50px 50px50px
liitännäisyys materiaalisen nonimplikaation suhteen: 50px50px 50px 50px50px
liitännäisyys itsensä kanssa: 50px50px 50px 50px50px
Idempotenssi 36px36px 36px
Monotonisuus 50px 50px 50px50px
Totuuden säilyttävä validiteetti Kun kaikki konjunktiolla yhdistettävät lauseet ovat tosia, konjunktio on tosi. 50px 60px(kokeiltava)
Epätotuuden säilyttävä validiteetti Kun kaikki konjunktiolla yhdistettävät lauseet ovat epätosia, disjunktio on epätosi. 60px 50px(kokeiltava)
Walshin spektri: (1, -1, 1, -1)
Epälineaarisuus: 1 (funktio on taivutettu)
Jos totuusarvoille käytetään binäärilukumerkintöjä 1 (tosi) ja 0 (epätosi), looginen konjunktio toimii samoin kuin näiden lukujen normaali kertolasku.
Sovellukset tietotekniikassa
thumb|right|150px|AND-portti Useimmissa ohjelmointikielissä on konjunktiota vastaava operaattori. Se merkitään monissa ohjelmointikielissä varatulla sanalla and, mutta esimerkiksi C:ssä ja siihen pohjautuvissa ohjelmointikielissä kahdella et-merkillä (&&).
Useimmissa ohjelmointikielissä looginen konjunktio antaa tulokseksi aina boolean-tyyppisen muuttujan, jolla on vain kaksi mahdollista arvoa: tosi (1) tai epätosi (0). Monissa vahvasti tyypitetyissä kielissä konjunktio voidaan sitä paitsi suorittaa vain, jos molemmat sillä yhdistettävät operanditkin ovat boolean-tyyppisiä. Joissakin heikosti tyypitetyissä kielissä, esimerkiksi C:ssä, konjunktio voidaan kuitenkin suorittaa silloinkin, kun operandit ovat esimerkiksi kokonais- tai reaalilukutyyppisiä; tällöin tuloksena on 0 (epätosi), jos ainakin jompikumpi operandi on nolla, mulloin tuloksena on 1 (tosi). Tällöin siis operandien kaikkien muiden arvon kuin nollan katsotaan vastaavan totuusarvoa tosi.
Konjunktiota vastaava looginen portti on AND-portti.
Biteittäinen operaatio
Joissakin ohjelmointikielissä on määritelty myös biteittäinen konjunktio'''. Tällöin operandit, jotka voivat olla esimerkiksi binäärisiä kokonaislukuja, käydään läpi bitti bitiltä ja suoritetaan konjunktio-operaatiot kummankin operandin vastaavien bittien välillä. Tuloksena saadaan muuttuja, jossa kunkin bitin arvo riippuu operandien bittien arvoista seuraavasti:
0 and 0 = 0 0 and 1 = 0 1 and 0 = 0 1 and 1 = 1
Käymällä bitit läpi esimerkiksi binääriluvuista 11001010 ja 10100011 saadaan tulokseksi 10000010.
Biteittäinen konjunktio on käytettävissä muun muassa C-kielessä, jossa se merkitään yhdellä et-merkillä (&).
Biteittäisellä konjunktiolla voidaan muun muassa selvittää, minkä annetussa bittijonossa on jonkin tietyn bitin arvo. Esimerkiksi laskutoimitus 10011101 AND 00001000 antaa tulokseksi bittijonon 00001000, joka osoittaa, että vasemmanpuoleisen luvun viidennen bitin arvo on 1.
Leikkaus
Konjunktiota vastaava operaatio joukko-opissa on leikkaus. Kahden joukon leikkaus määritelläänkin konjunktion avulla: , jos ja vain jos . Toisin sanoen alkio a kuuluu joukkojen A ja B leikkaukseen, jos ja vain jos se kuuluu molempiin näistä joukoista, Tämän vuoksi joukko-opillinen leikkaus noudattaa pitkälti samoja sääntöjä kuin konjunktiokin: sillekin pätevät vaihdanta-, liitäntä-, osittelu- ja de Morganin lait.
Luonnolliset kielet
Matemaattisessa logiikassa määritellyt käsitteet ovat merkitykseltään erilaisia kuin luonnollisen kielen sanat yleensä ovat. Suomen kielessä loogista konjunktiota vastaa lähinnä sana kieliopillinen konjunktio ja''. Tätä sanaa, samoin kuin sen vastineita useissa muissakin kielissä, käytetään kuitenkin myös tavoilla, jotka eivät vastaa loogisen konjunktion käsitettä. Toisinaan sillä ilmaistaan seurausta tai uhkausta, esimerkiksi: "vielä yksi sana, ja minä lähden", jonkin asian jatkamista huomattavan kauan, esimerkiksi "miettii ja miettii", tai sitä käytetään yhdistämään jonkin luvun tai määrän pienempää yksikköä suurempaan, esimerkiksi "kello 12 ja 50" (=12.50) tai Tuhannen ja yhden yön tarinat.
Katso myös Disjunktio AND-portti Propositiologiikka Boolen algebra
Lähteet
Aiheesta muualla
Luokka:Logiikka