+ Axiomas de separación en espacios topológicosT0T1T2T2½completamente T2T3T3½T4T5T6
En matemáticas, y más concretamente en topología general, se dice que un espacio topológico X es un espacio regular cuando es posible separar todo conjunto cerrado de cualquiera de sus puntos exteriores, en el sentido de que pertenecen a vecindades separadas.
La condición de regular, que se denota por T3, es uno de los denominados axiomas de separación. En ocasiones se reserva la denominación T3 para los espacios de Hausdorff regulares, es decir, que además son espacios de Hausdorff.
Definición 250px|thumb|right|El punto x y el conjunto cerrado F (representado por el disco sólido de la derecha) están separados por sus respectivos entornos abiertos U y V, que no se solapan. Los entornos abiertos son los espacio interiores a cada circunferencia. Un espacio topológico X es un espacio regular cuando para cada conjunto cerrado F de X y cada punto x que no pertenece a F, existen dos entornos abiertos, U de x y V de F, que son disjuntos: .Clara M. Neira U.: Notas de Topología - 2003
Proposición Consideremos un espacio topológico (X, T) . Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: X es un espacio regular. Si U es un abierto de X y t ∈ U, entonces existe un abierto W de X tal que t ∈ W y la adherencia de W está contenida en U Cualquier punto de X tiene un sistema fundamental de vecindades cerradas.Neira: Op.cit
Aclaración y definición En general a un espacio topológico regular y se les denomina .
Es claro que si X es un espacio T1 y regular entonces es de Hausdorff (ya que en los espacios T1 los conjuntos unipuntuales son conjuntos cerrados). Sin embargo, hay ejemplos de espacios Hausdorff no regulares. Para el caso de espacios compactos, ser Hausdorff y ser regular son propiedades equivalentes.
Una caracterización de los espacios regulares (no se necesita que los puntos sean cerrados) está dada por la siguiente proposición: un espacio X es regular si y solo si para todo y U entorno de z existe un entorno V de z tal que .
Ejemplos El espacio topológico ℝ con la topología usual es un espacio regular. Sea S un conjunto provisto de topología trivial. Entonces S es un espacio regularClara M. Neira U.: Notas de Topología. 2003 Sea el conjunto ℝ y la topología sobre él, T = {∅, ℚ, ℝ\ℚ, ℝ}, entonces (ℝ, T) es un espacio regular, pero no es un espacio de HausdorffNeira: Op. cit. El espacio de Sierpinski no es T3.
Véase también Axiomas de separación Espacio de Kolmogórov (T0) Espacio de Fréchet (T1) Espacio de Hausdorff (T2) Espacio completamente de Hausdorff Espacio de Tíjonov (T3½) Espacio normal
Referencias
Bibliografía
Categoría:Espacios topológicos Categoría:Axiomas de separación Categoría:Topología general