En teoría de grupos, una de las ramas de las matemáticas, el término orden se utiliza en dos sentidos estrechamente relacionados: El orden de un grupo es su cardinalidad, es decir, el número de elementos que tiene. El orden, a veces período, de un elemento a de un grupo es el entero positivo m más pequeño tal que am = e (donde e denota el elemento identidad, también llamado neutro, del grupo, y am denota el producto de m copias de a). Si no existe tal m, se dice que a tiene un orden infinito. Álgebra moderna (1970) Herstein, I.N. Editorial Trillas, México, D.F. pág.51
Denotamos el orden de un grupo G por ord(G) o y el de un elemento por ord(a) o . Se puede notar que el orden de un elemento (en el segundo sentido expuesto) coincide con el orden del subgrupo generado por dicho elemento (en el primer sentido).
Relación entre el orden de un grupo y su estructura
Si el orden del grupo es 1, entonces el grupo es trivial. Si un elemento tiene orden 1, entonces el elemento es necesariamente la identidad. Si un elemento de tiene orden 2, dicho elemento es igual a su inverso; si todos los elementos del grupo tienen orden 2, entonces el grupo resulta abeliano dado que, para dos elementos cualesquiera : .
Subgrupos generados por un elemento Si es un grupo y es un elemento del mismo, se denota por el subgrupo generado por . Entonces el orden del elemento es igual al orden del subgrupo . En el caso de que sea finito, el subgrupo resulta isomorfo a . Cuando el orden de es infinito, se obtiene que es isomorfo a .
Divisores del orden del grupo Si es un grupo finito, y dado que el orden de cualquier elemento es igual al número de elementos del subgrupo , el orden de cualquier elemento de tiene que ser necesariamente menor o igual que el orden de . Se da un resultado más fuerte: el orden de cualquier elemento de debe ser un divisor del orden de ; equivalentemente, dado un elemento , el orden del subgrupo debe dividir al orden de .
La extensión de este resultado a subgrupos más generales se conoce como el teorema de Lagrange: dado un grupo finito y un subgrupo suyo , el orden de divide al orden de . El cociente se conoce como el índice de en , y se denota en ocasiones como .
Por otra parte, aunque el orden de cada elemento de un grupo finito deba dividir al orden del grupo, no está garantizado que, para cada divisor de , exista un elemento con dicho orden. En el caso de los divisores primos, el teorema de Cauchy sí garantiza que, si es un divisor primo de , entonces existe un elemento cuyo orden es .
Ejemplos
Sea el grupo G = {1,-1,i,-i}, con la operación multiplicación de complejos. Entonces se pueden obtener los siguientes órdenes:
El orden del grupo completo es 4, ya que el grupo está formado por cuatro elementos. O sea, ord (G) = 4. El orden del elemento 1 es 1, o sea, ord (1) = 1. El orden del elemento -1 es 2, o sea, ord (-1)= 2, puesto que (-1)·(-1)=1. El orden del elemento i es 4, o sea, ord (i) = 4, puesto que = i·i·i·i = (-1)·i·i = (-1)·(-1) = 1. El orden del elemento -i es 4, o sea, ord (-i)= 4, puesto que (-i)·(-i)·(-i)·(-i) = (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·i·i·i·i = 1·1·i·i·i·i = 1.
Sea el grupo formado por las clases de equivalencia módulo n, donde la operación del grupo es la suma. Entonces el orden de cualquier elemento k ≠ 0 es n/d, donde d es el máximo común divisor entre n y k.
Proposiciones Corolario 1. Si G es un grupo finito y x está en G, entonces o(x) | o(G).
Corolario 2. Si H es un grupo finito y x es elemento de H, implica xo(H) = x.
Proposición de Euler. Si m es un entero positivo y b es primo con m, entonces bφ(m) ≡ 1mód m. Ibídem
Citas
Enlaces externos
Álgebra. Capítulo 2. Murphy-Hernández, Frank y García, Jaime. Notas de Álgebra Moderna 1.
Categoría:Teoría de grupos