mini|400px|Representación de la célebre paradoja de "Aquiles y la tortuga" junto a la efigie de Zenón.
Las paradojas de Zenón son un conjunto de problemas filosóficos que, en general, se cree que fueron planteados por el filósofo de la Antigua Grecia Zenón de Elea (c. 490-430 a. C.) para respaldar la doctrina de Parménides, en la que se afirma que, contrariamente a la evidencia de los sentidos, la creencia en el pluralismo y el cambio es errónea, y en particular que el movimiento no es más que una ilusión de los sentidos.
Contexto histórico mini|300px|Zenón muestra a los estudiantes las puertas de la verdad y de la mentira. Fresco en la Biblioteca de El Escorial. Autor: Bartolomé Carducho // Pellegrino Tibaldi
Dedicado principalmente al problema del continuo y a las relaciones entre espacio, tiempo y movimiento, Zenón habría planteado — señala Proclo — un total de 40 paradojas. Generalmente, se asume, basándose en el diálogo de Platón Parménides (128 a-d), que Zenón emprendió la tarea de crear estas aporías porque otros filósofos habían creado paradojas contra la visión de Parménides. Por eso Platón escribe que el propósito de las paradojas de Zenón "es mostrar que la hipótesis de la pluralidad, si se realiza un razonamiento adecuado, conduce a resultados aún más absurdos que la hipótesis de que el ser es uno".Parménides 128d Platón también recoge una afirmación de Sócrates de que Zenón y Parménides estaban argumentando esencialmente el mismo punto de vista.Parmenides 128a–b
Algunas de las nueve paradojas supervivientes de Zenón (conservadas en la Física de AristótelesAristotle's Physics "Physics" by Aristotle translated by R. P. Hardie and R. K. Gaye y en el comentario de Simplicio de Cilicia al respecto) son esencialmente equivalentes entre sí. Aristóteles ofreció una refutación de algunas de ellas.
Tres de las paradojas más famosas y más difíciles de rebatir, la de Aquiles y la tortuga, el argumento de la dicotomía y el de una flecha en vuelo, se presentan en detalle a continuación.
Los argumentos de Zenón son quizás los primeros ejemplos de un método de prueba llamado "reductio ad absurdum", también conocido como prueba por contradicción. Se suelen mostrar como una fuente del método dialéctico utilizado por Sócrates.([fragmento 65], Diógenes Laertio. IX 25ff and VIII 57).
Algunos matemáticos e historiadores, como Carl Benjamin Boyer, sostienen que las paradojas de Zenón son simplemente problemas matemáticos, para los que el cálculo infinitesimal moderno ofrece una solución matemática. Sin embargo, algunos filósofos afirman que las paradojas de Zenón y sus variaciones (véase la lámpara de Thomson) siguen siendo problemas relevantes de metafísica.
Los orígenes de las paradojas son poco claros. Diógenes Laercio, una cuarta fuente de información sobre Zenón y sus enseñanzas, citando a Favorino, dice que Parménides, el maestro de Zenón, fue el primero en presentar la paradoja de Aquiles y la tortuga. Pero en un pasaje posterior, Laercio atribuye el origen de la paradoja a Zenón, explicando que Favorinus no está de acuerdo.Diógenes Laercio, Vidas, 9.23 y 9.29.
Estructura y propósito de las paradojas La estructura de las paradojas sigue el principio de la demostración indirecta. Están planteadas de manera tal que al comienzo se enuncia como supuesto la misma posición que se quiere refutar. A partir de los supuestos se construye una regresión infinita. Así, por ejemplo, en la paradoja de la dicotomía se divide el tramo que aún está por recorrer para argumentar que la segunda parte también tiene que recorrerse y a esa parte también aplica a su vez lo mismo. Esto se puede repetir en el pensamiento infinitamente, aún difíciles de entender.
La argumentación de Zenón gira en torno a la pregunta de si el mundo puede ser dividido en unidades discretas, es decir, si acaso existe la divisibilidad o el mundo constituye realmente una unidad continua. El supuesto de la divisibilidad conduce al problema de que o bien todo es infinitamente divisible o tienen que existir cuantos elementales últimos de espacio y de tiempo. La mayor parte de las paradojas parte de uno de estos dos supuestos y concluye desde allí la imposibilidad de ciertas cosas y procesos que, en la vida cotidiana, se experimentan como absolutamente posibles. Así, por ejemplo, se sabe por experiencia que cada corredor alcanzará su meta. Zenón discute de esta manera tanto el concepto de espacio como el de movimiento.
Algunos relatos suponen que Zenón se orientaba con sus paradojas a defender la doctrina de su maestro Parménides de que existiría solamente lo único infinito y todo movimiento sería una ilusión. Según esto, por ejemplo, una persona no podría recorrer un estadio de longitud, porque primero debe llegar a la mitad de este, antes a la mitad de la mitad, pero antes aún debería recorrer la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente hasta el infinito. De este modo, en el ejercicio mental, una persona no podría recorrer nunca un estadio de longitud, aunque la realidad muestre que sí es posible.
Platón (en su diálogo Parmenides) presenta a Zenón informando que intentó proteger a Parménides contra las críticas por su rechazo de la pluralidad y del movimiento (el que llevaría a consecuencias descabelladas), con la demostración de que la adhesión al movimiento y a la pluralidad llevaría a conclusiones aún más insensatas.
En todo caso, Zenón señala allí de este texto de Platón que se trataría de una obra de juventud, y que la gente se lo habría sustraído sin que él hubiera dado su consentimiento expreso para su publicación. No obstante, lo que al menos se puede afirmar con seguridad es que la filosofía de Zenón se orientaba en contra de la adopción de determinadas posiciones filosóficas fundamentales para la explicación del mundo. Contra estas posiciones argumenta también Parménides. Sin embargo, en algunas de las paradojas hay contradicciones con el concepto de mundo de forma esférica de Parménides. En rigor, de los argumentos de Zenón solo se puede deducir que el supuesto de espacio y movimiento, bajo las premisas que se establecen en cada una de las paradojas, conduce a consecuencias absurdas, es decir las premisas no pueden ser verdaderas si no se quiere dudar de la experiencia cotidiana.
Con sus paradojas, Zenón cuestiona determinadas concepciones intuitivas preexistentes acerca de lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya antes se solía creer que una suma de infinitos sumandos podía crecer indefinidamente, aunque los sumandos fueran infinitamente pequeños, y que la suma de un número finito o infinito de términos todos iguales a cero volvía a dar cero como resultado. La crítica de Zenón objeta la admisibilidad de tales conceptos.Dirk J. Struik, Abriß der Geschichte der Mathematik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1976, pp. 53-54
Las aporías o sofismas de Zenón pertenecen a la categoría de paradojas falsídicas, también llamadas sofismas, esto es, que no solo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que además lo son (falacia en el razonamiento).
Es probable que el propio Zenón no haya tenido clara conciencia de las consecuencias que sus consideraciones tenían para las matemáticas. En la discusión filosófica y teológica ya habían surgido problemas del tipo tratado por él en sus paradojas: los problemas de la relación entre el infinito potencial y el infinito actual o alcanzado. Sin embargo, las paradojas influyeron en el pensamiento matemático de muchas generaciones, más aún después del descubrimiento de los números irracionales, llegando a cuestionarse la posibilidad de las matemáticas como una ciencia exacta. Se ha llegado a plantear que este escándalo marca una auténtica crisis de las matemáticas griegas en las postrimerías de las Guerras del Peloponeso que culminaran con la caída de Atenas en 404 a. C., que significó el fin de la democracia esclavista y el inicio del régimen aristocrático.
Contra las paradojas se han aportado los más diversos argumentos, por lo que se les considera refutadasVéase por ejemplo, Höffe, Otfried.Kleine Geschichte der Philosophie. [«Breve historia de la filosofía» 2ª edición. Beck, Múnich 2008, p. 29: "Aristoteles löst die Paradoxien, indem er zwei Bedeutungen von "unendlich" - eine unendliche Ausdehnung und unendliche Teilbarkeit - unterscheidet, so daß eine der Ausdehnung nach endliche, der Teilbarkeit nach unendliche (Raum- oder Zeit-)Strecke in endlicher Zeit durchlaufen werden kann." [«Aristóteles resuelve las paradojas al distinguir dos significados de 'infinito' — extensión infinita y divisibilidad infinita — de modo tal que un segmento (espacial o temporal) que de acuerdo a su extensión es finito y de acuerdo a su divisibilidad es infinito, pueda ser recorrido en un tiempo finito» Sin embargo, para mediciones en el mundo de la física cuántica las paradojas se confirmaron en 1994 en la Universidad de Múnich: Se comprobó que se detuvo el movimiento de un sistema cuántico exclusivamente por medio de una secuencia densa de mediciones, lo cual condujo a la formulación del modelo teórico del efecto cuántico de Zenón.
Paradojas del movimiento
Aquiles y la tortuga thumb|Distancia frente a tiempo, asumiendo que Aquiles corre el doble de rápido que la tortuga thumb|left|Aquiles y la tortuga
En la paradoja de Aquiles y la tortuga, Aquiles está disputando una carrera contra una tortuga. Aquiles concede a la tortuga una ventaja, por ejemplo, de 100 metros. Suponiendo que ambos comiencen a correr a una velocidad constante (uno muy rápido y la otra muy lenta), tras un tiempo finito, Aquiles correrá 100 metros, alcanzando el punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga ha corrido una distancia mucho más corta, digamos que de 10 metros. Aquiles tardará un poco de tiempo más en recorrer esta distancia, intervalo en el que la tortuga habrá avanzado un poco más; por lo que a Aquiles aún le queda algo más de tiempo para llegar a este tercer punto, mientras la tortuga sigue avanzando. Por lo tanto, cada vez que Aquiles llega a algún lugar donde ha estado la tortuga, todavía tiene algo de distancia que recorrer antes de que pueda alcanzarla.
Paradoja de la dicotomía
Supóngase que Homero desea caminar hasta el final de un camino. Antes de que pueda llegar allí, debe recorrer la mitad del camino. Y antes de que pueda llegar a la mitad del camino, debe caminar una cuarta parte de este. Y antes de recorrer una cuarta parte, debe completar una octava parte; y antes de la octava parte, una dieciseisava; y así indefinidamente.
La secuencia resultante se puede representar como:
Esta descripción requiere que se complete un número infinito de tareas, lo que Zenón sostiene que es imposible.
La secuencia también presenta un segundo problema, ya que imposibilita la existencia de una primera distancia por recorrer, dado que cualquier primera distancia posible podría dividirse por la mitad y, por lo tanto, no sería la primera después de todo. Por lo tanto, el viaje ni siquiera puede comenzar. La conclusión paradójica entonces sería que el viaje a través de cualquier distancia finita no se puede completar ni comenzar, por lo que todo movimiento debe ser una ilusión. Una conclusión alternativa, propuesta por Henri Bergson, es que el movimiento (tiempo y distancia) no es realmente infinitamente divisible.
El argumento de Zenón se denomina dicotomía, porque implica dividir repetidamente una distancia en dos partes. Contiene algunos de los mismos elementos que la paradoja de "Aquiles y la tortuga", pero con una conclusión más evidente de inmovilidad. También se conoce como la paradoja del "Estadio". Algunos, como Aristóteles, consideran que el caso de la dicotomía es simplemente una versión más de "Aquiles y la Tortuga".
Paradoja de la flecha thumb|La flecha