derecha|miniaturadeimagen|217x217px|La función exponencial natural y = ex En matemáticas, una función exponencial es una función de la forma en el que el argumento x se presenta como un exponente. Una función de la forma también es una función exponencial, ya que puede reescribirse como:

Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, su derivada) es directamente proporcional al valor de la función. La constante de proporcionalidad de esta relación es el logaritmo natural de la base b: La constante es la base única para la cual la constante de proporcionalidad es 1, de modo que la derivada de la función es ella misma:. Dado que el cambio de la base de la función exponencial simplemente da como resultado la aparición de un factor constante adicional, es computacionalmente conveniente reducir el estudio de las funciones exponenciales en el análisis matemático al estudio de esta función particular, llamada convencionalmente la "función exponencial natural", o simplemente, "la función exponencial" y denotada por o bien . Si bien ambas notaciones son comunes, la primera se usa generalmente para los exponentes más simples, mientras que la segunda tiende a usarse cuando el exponente es una expresión complicada.

La función exponencial satisface la identidad multiplicativa fundamental para todo . Esta identidad se extiende a los exponentes de valores complejos. Se puede mostrar que cada solución continua, distinta de cero, de la ecuación funcional es una función exponencial, con la identidad multiplicativa fundamental, junto con la definición del número como , muestra que para enteros positivos y relaciona la función exponencial con la noción elemental de exponenciación.

El argumento de la función exponencial puede ser cualquier número real o complejo o incluso un tipo de objeto matemático completamente diferente (por ejemplo, una matriz).

Su omnipresente aparición en matemáticas puras y aplicadas ha llevado al matemático W. Rudin a opinar que la función exponencial es "la función más importante en matemáticas". En los ajustes aplicados, las funciones exponenciales modelan una relación en la que un cambio constante en la variable independiente proporciona el mismo cambio proporcional (es decir, aumento o disminución de porcentaje) en la variable dependiente. Esto ocurre ampliamente en las ciencias naturales y sociales; por lo tanto, la función exponencial también aparece en una variedad de contextos dentro de la física, la química, la ingeniería, la biología matemática y la economía.

La gráfica de está inclinada hacia arriba, y aumenta más rápido a medida que aumenta. El gráfico siempre se encuentra por encima del eje , pero puede estar arbitrariamente cerca de él para negativo; Así, el eje es una asíntota horizontal. La pendiente de la tangente a la gráfica en cada punto es igual a su coordenada y en ese punto, como lo indica su función derivada. Su función inversa es el logaritmo natural, denotado ,In pure mathematics, the notation generally refers to the natural logarithm of or a logarithm in general if the base is immaterial. ,The notation is the ISO standard and is prevalent in the natural sciences and secondary education (US). However, some mathematicians (e.g., Paul Halmos) have criticized this notation and prefer to use for the natural logarithm of . o ; debido a esto, algunos textos antiguos se refieren a la función exponencial como el antilogaritmo.

Definición formal derecha|miniaturadeimagen|La función exponencial (en azul) y la suma de los primeros n + 1 términos de sus series de potencias (en rojo). La función exponencial real se puede caracterizar de varias maneras equivalentes. Más comúnmente, se define por las siguientes series de potencias:

Como el radio de convergencia de esta serie de potencias es infinito, esta definición es, de hecho, aplicable a todos los números complejos .

La diferenciación término por término de esta serie de potencias revela que para todas las reales, lo que lleva a otra caracterización común de como la única solución de la ecuación diferencial

satisfaciendo la condición inicial

Basándose en esta caracterización, la regla de la cadena muestra que su función inversa, el logaritmo natural, satisface para o Esta relación lleva a una definición menos común de la función exponencial real como la solución a la ecuación

Por medio del teorema del binomio y la definición de la serie de potencias, la función exponencial también se puede definir como el siguiente límite:Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.

Visión general miniaturadeimagen|267x267px|La curva roja es la función exponencial. Las líneas horizontales negras muestran donde cruza las líneas verticales verdes. La función exponencial surge cuando una cantidad crece o decae a una tasa proporcional a su valor actual. Una de esas situaciones es el interés continuamente compuesto, y de hecho, fue esta observación la que llevó a Jacob Bernoulli en 1683 al número

ahora conocido como e. Más tarde, en 1697, Johann Bernoulli estudió el cálculo de la función exponencial.

Si una cantidad principal de 1 gana intereses a una tasa anual de capitalización mensual, entonces el interés ganado cada mes es veces el valor actual, por lo que cada mes el valor total se multiplica por , y el valor al final del año es . Si, en cambio, el interés se agrava diariamente, esto se convierte en . Dejar que el número de intervalos de tiempo por año crezca sin límite lleva a la definición límite de la función exponencial,

primero dado por Leonhard Euler.Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156. Esta es una de varias caracterizaciones de la función exponencial; Otros implican series o ecuaciones diferenciales.

De cualquiera de estas definiciones se puede mostrar que la función exponencial obedece a la identidad de exponenciación básica,

lo que justifica la notación .

La derivada (tasa de cambio) de la función exponencial es la función exponencial en sí misma. Más generalmente, una función con una tasa de cambio proporcional a la función en sí misma (en lugar de ser igual a ella) es expresable en términos de la función exponencial. Esta propiedad de función conduce a un crecimiento exponencial o decaimiento exponencial.

La función exponencial se extiende a una función completa en el plano complejo. La fórmula de Euler relaciona sus valores en argumentos puramente imaginarios con funciones trigonométricas. La función exponencial también tiene análogos para los cuales el argumento es una matriz, o incluso un elemento de un álgebra de Banach o un álgebra de Lie.

Derivadas y ecuaciones diferenciales derecha|miniaturadeimagen|391x391px|La derivada de la función exponencial es igual al valor de la función. Desde cualquier punto P en la curva (azul), dibuje una línea tangente (roja) y una línea vertical (verde) con altura h, formando un triángulo rectángulo con una base b en el eje x. Dado que la pendiente de la línea tangente roja (la derivada) en P es igual a la relación entre la altura del triángulo y la base del triángulo (aumento sobre la ejecución), y la derivada es igual al valor de la función, h debe ser igual a la relación de h a b. Por lo tanto, la base b siempre debe ser 1. La importancia de la función exponencial en matemáticas y ciencias proviene principalmente de su definición como función única que es igual a su derivada y es igual a 1 cuando . Es decir,

Las funciones de la forma para la constante son las únicas funciones que son iguales a su derivada (por el teorema de Picard-Lindelöf). Otras formas de decir lo mismo incluyen:

La pendiente de la gráfica en cualquier punto es la altura de la función en ese punto. La tasa de aumento de la función en es igual al valor de la función en . La función resuelve la ecuación diferencial . es un punto fijo de derivado como funcional.

Si la tasa de crecimiento o decaimiento de una variable es proporcional a su tamaño, como es el caso del crecimiento poblacional ilimitado (ver catástrofe maltusiana), interés compuesto continuamente o decaimiento radiactivo, entonces la variable puede escribirse como una función exponencial por el tiempo. Explícitamente para cualquier constante real k, una función satisface si y solo si f (x) = cekx para alguna constante c. , a function satisfies if and only if for some constant .

Además, para cualquier función diferenciable f(x), encontramos, por la regla de la cadena:

Fracciones continuas para Una fracción continua para puede obtenerse a través de una identidad de Euler:

La siguiente fracción continua generalizada para converge más rápidamente:"A.2.2 The exponential function." L. Lorentzen and H. Waadeland, Continued Fractions, Atlantis Studies in Mathematics, page 268.

o bien, aplicando la sustitución. :

con un caso especial para :

Esta fórmula también converge, aunque más lentamente, para z> 2. Por ejemplo:

Plano complejo derecha|miniaturadeimagen|Función exponencial en el plano complejo. La transición de colores oscuros a claros muestra que la magnitud de la función exponencial está aumentando hacia la derecha. Las bandas horizontales periódicas indican que la función exponencial es periódica en la parte imaginaria de su argumento. Como en el caso real, la función exponencial se puede definir en el plano complejo en varias formas equivalentes. La definición más común de la función exponencial compleja es paralela a la definición de la serie de potencias para los argumentos reales, donde la variable real se reemplaza por una compleja:

La multiplicación de dos copias de estas series de potencias en el sentido de Cauchy, permitida por el teorema de Mertens, muestra que la propiedad multiplicativa definitoria de las funciones exponenciales sigue siendo válida para todos los argumentos complejos:

para todo

La definición de la función exponencial compleja a su vez conduce a las definiciones apropiadas que extienden las funciones trigonométricas a argumentos complejos.

En particular, cuando (real), la definición de la serie produce la expansión

En esta expansión, la reorganización de los términos en partes reales e imaginarias se justifica por la convergencia absoluta de la serie. Las partes reales e imaginarias de la expresión anterior de hecho corresponden a las expansiones de la serie de y , respectivamente.

Esta correspondencia proporciona motivación para definir el coseno y el seno para todos los argumentos complejos en términos de y la serie de potencias equivalentes:

y para todo

Las funciones exp, cos y sin, así definidas, tienen un radio infinito de convergencia por la prueba de relación y, por lo tanto, son funciones completas (es decir, holomorfas en ). El rango de la función exponencial es , mientras que los rangos de las funciones complejas de seno y coseno son en su totalidad, de acuerdo con el teorema de Picard, que afirma que el rango de una función completa no constante es o excluyendo un valor lacunario.

Estas definiciones para las funciones exponenciales y trigonométricas conducen trivialmente a la fórmula de Euler:

para todo

Alternativamente, podríamos definir la función exponencial compleja basada en esta relación. Si , donde y son reales, podríamos definir su exponencial como

donde exp, cos y sen en el lado derecho del signo de definición deben interpretarse como funciones de una variable real, previamente definida por otros medios.

Para , la relación se mantiene, por lo que para real y mapea la línea real (mod ) al círculo unitario. Sobre la base de la relación entre y el círculo unitario, es fácil ver que, restringido a argumentos reales, las definiciones de seno y coseno dadas anteriormente coinciden con sus definiciones más elementales basadas en nociones geométricas.

La función exponencial compleja es periódica con el período y para todos .