En matemáticas, específicamente en teoría de números algebraicos, el teorema de densidad de Chebotariov, que toma su nombre de Nikolái Chebotariov, describe estadísticamente la descomposición de los números primos en una extensión de Galois dada en el cuerpo de los números racionales. En general, un entero primo se factorizará en varios primos ideales en el anillo de los números enteros algebraicos . Solo existe un número finito de patrones de descomposición posibles. Aunque la descripción completa de la división de cada primo en una extensión de Galois general es un problema importante sin resolver, el teorema de densidad de Chebotariov dice que la frecuencia de aparición de un patrón dado, para todos los primos menores que un entero grande , tiende a un cierto límite cuando tiende a infinito. Chebotariov lo demostró en su tesis de 1922.

Un caso especial, más fácil de enunciar, establece que si es un cuerpo de números algebraicos que es una extensión de Galois de de grado , entonces los números primos que se dividen completamente en tienen una densidad entre todos los primos. De forma más general, el comportamiento de división se puede especificar asignando a (casi) cada número primo un invariante, su elemento de Frobenius, que es un representante de una clase de conjugación bien definido en el grupo de Galois . En este caso, el teorema afirma que la distribución asintótica de estos invariantes es uniforme sobre el grupo, de modo que una clase de conjugación con elementos aparece con una frecuencia que tiende asintóticamente a .

Historia y motivación

Cuando Carl Friedrich Gauss introdujo por primera vez la noción de enteros complejos , observó que los números primos ordinarios pueden factorizarse en este nuevo conjunto de enteros. Distinguió tres casos: si un primo es congruente con 1 mod 4, entonces se factoriza en un producto de dos enteros gaussianos primos distintos, o se divide completamente; si es congruente con 3 mod 4, entonces sigue siendo primo, o es inerte; y si es 2, entonces se convierte en un producto del cuadrado del primo y el entero gaussiano invertible ; y entonces se dice que 2 se ramifica. Por ejemplo:

se divide completamente; es inerte se ramifica.

Según esta descripción, al considerar primos cada vez mayores, la frecuencia de una división de primos se aproxima completamente a , y lo mismo ocurre con los primos que permanecen como tales en . El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas demuestra que esto es así. Aunque los números primos en sí mismos aparecen de forma bastante errática, la división de los primos en la extensión sigue una ley estadística simple.

Leyes estadísticas similares también se cumplen para la división de primos en extensiones ciclotómicas, obtenidas del campo de los números racionales mediante la concatenación de una raíz de la unidad primitiva de un orden dado. Por ejemplo, los primos enteros ordinarios se agrupan en cuatro clases, cada una con probabilidad , según su patrón de división en el anillo de enteros correspondiente a las raíces octavas de la unidad. En este caso, la extensión del cuerpo tiene grado 4 y es abeliana, con el grupo de Galois isomorfo al grupo de Klein. Se demostró que el grupo de Galois de la extensión desempeña un papel fundamental en el patrón de descomposición de los números primos. Ferdinand Georg Frobenius estableció el marco para investigar este patrón y demostró un caso particular del teorema. La afirmación general fue demostrada por Nikolái Chebotariov en 1922.

Relación con el teorema de Dirichlet

El teorema de densidad de Chebotariov puede considerarse una generalización del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas. Una formulación cuantitativa del teorema de Dirichlet establece que si es un entero y es coprimo respecto a , entonces la proporción de primos congruentes con módulo es asintótica a , donde es la función φ de Euler.

Este es un caso particular del teorema de densidad de Chebotarev para el -ésimo cuerpo ciclotómico . De hecho, el grupo de Galois de es abeliano y puede identificarse canónicamente con el grupo de clases de residuos invertibles módulo . El invariante de descomposición de un primo que no divide a es simplemente su clase residual, ya que el número de primos distintos en los que se descompone es , donde es el orden multiplicativo de módulo . Por lo tanto, según el teorema de densidad de Chebotariov, los primos se distribuyen asintóticamente de forma uniforme entre las diferentes clases residuales coprimas con .

Formulación

En su artículo de revisión, presentan un resultado anterior de Frobenius en este campo: sea un polinomio entero mónico y un cuerpo de descomposición de . Entonces, es una extensión de Galois. Tiene sentido factorizar módulo un número primo . Su tipo de descomposición es la lista de grados de factores irreducibles de módulo ; es decir, se factoriza de alguna manera sobre el cuerpo . Si es el grado de , entonces el tipo de descomposición es una partición de . Ahora bien, cada en es una permutación de las raíces de en . En otras palabras, al elegir un ordenamiento de una raíz y sus conjugados algebraicos, es fielmente representado como un subgrupo del grupo simétrico . Se puede escribir mediante su permutación, lo que da un tipo de ciclo , que a su vez es una partición de .

El teorema de Frobenius establece que para cualquier elección dada de , los primos para los cuales el tipo de división de mod es , que tiene una densidad natural , donde es igual a la proporción de en , que tiene el tipo de ciclo .

El enunciado del teorema de densidad de Chebotarev, más general, se formula en términos del elemento de Frobenius de un primo (ideal), que de hecho es una clase de conjugación asociada de elementos del grupo de Galois . Si se fija , el teorema afirma que, asintóticamente, una proporción de primos tiene asociado un elemento de Frobenius como . Cuando es abeliano, las clases tienen tamaño 1. Para el caso de un grupo no abeliano de orden 6, tienen tamaño 1, 2 y 3, y existen, por ejemplo, de primos que tienen un elemento de orden 2 como su elemento de Frobenius. Así, estos primos tienen grado residual 2, y por lo tanto se dividen en exactamente tres ideales primos en una extensión de grado 6 de con este últimoEste ejemplo en particular se deduce directamente del resultado de Frobenius, ya que G es un grupo simétrico. En general, la conjugación en G es más exigente que tener el mismo tipo de ciclo. como grupo de Galois.

Enunciado Sea una extensión de Galois finita de un cuerpo numérico con grupo de Galois . Sea un subconjunto de que es estable bajo conjugación. El conjunto de primos de que no están ramificados en y cuya clase de conjugación de Frobenius asociada está contenida en tiene densidad .Section I.2.2 of Serre La afirmación es válida cuando la densidad se refiere a la densidad natural o a la densidad analítica del conjunto de primos.

Versión efectiva La hipótesis generalizada de Riemann implica un versión efectiva del teorema de densidad de Chebotariov: si es una extensión de Galois finita con grupo de Galois , y es una unión de clases de conjugación de , el número de primos no ramificados de con norma inferior a y clase de conjugación de Frobenius en es:

donde la constante implícita en notación O-mayúscula es absoluta, es el grado de sobre , y su discriminante.

La forma efectiva de la teoría de densidad de Chebotariov se debilita considerablemente sin la hipótesis generalizada de Riemann. Sea una extensión de Galois finita con grupo de Galois y grado , una representación irreducible no trivial de de grado , y el conductor de Artin de esta representación. Supóngase que, para una subrepresentación de o , es entera; es decir, la conjetura de Artin se satisface para todo . Sea el carácter asociado a . Entonces existe un valor absoluto positivo tal que, para ,

donde es si es trivial y en caso contrario es , y donde es un cero real excepcional de . Si no existe tal cero, el término puede ignorarse. La constante implícita de esta expresión es absoluta.

Extensiones infinitas El enunciado del teorema de densidad de Chebotariov puede generalizarse al caso de una extensión de Galois infinita que no está ramificada fuera de un conjunto finito de primos de (es decir, si existe un conjunto finito de primos de tal que cualquier primo de que no esté en no está ramificado en la extensión ). En este caso, el grupo de Galois de es un grupo profinito equipado con la topología de Krull. Dado que es compacto en esta topología, existe una única medida de Haar en . Para cada primo de que no está en hay una clase de conjugación de Frobenius asociada . El teorema de densidad de Chebotarev en esta situación se puede enunciar de la siguiente manera:

Sea un subconjunto de estable bajo conjugación y cuya frontera tiene medida de Haar cero. Entonces, el conjunto de primos de que no pertenecen a tales que tiene densidad

Esto se reduce al caso finito cuando es finito (la medida de Haar es entonces simplemente la medida de conteo). Una consecuencia de esta versión del teorema es que los elementos de Frobenius de los primos no ramificados de son densos en .

Consecuencias importantes El teorema de densidad de Chebotariov reduce el problema de clasificar extensiones de Galois de un cuerpo numérico al de describir la descomposición de primos en extensiones. Específicamente, implica que, como extensión de Galois, está determinada unívocamente por el conjunto de primos de que se descomponen completamente en ella.Corollary VII.13.10 of Neukirch Un corolario relacionado es que si casi todos los ideales primos de se descomponen completamente en , entonces, de hecho, .Corollary VII.13.7 of Neukirch

Véase también División de ideales primos en extensiones de Galois Conjetura de la p-curvatura de Grothendieck-Katz

Referencias

Bibliografía

Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021

Categoría:Teoría analítica de números