mini|300px|Modelo 3D de un tetraedro regular
Un tetraedro (del griego τέτταρες 'cuatro' y ἕδρα 'asiento, base de apoyo o cara') o pirámide triangular es un poliedro con cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices. Las caras de un tetraedro son triángulos y en cada vértice concurren tres caras; si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. Además es un sólido platónico. Expresado de otra manera, un tetraedro es una pirámide con base triangular.
El tetraedro es el más simple de todos los poliedros convexos ordinarios y el único que tiene menos de cinco caras. Es el caso tridimensional del concepto más general de símplex correspondiente a la geometría euclídea, y por lo tanto también puede denominarse 3-símplex.
Como todos los poliedros, un tetraedro se puede plegar a partir de una sola hoja de papel. Tiene dos desarrollos de este tipo.
Para cualquier tetraedro existe una esfera (llamada esfera circunscrita) sobre la cual se encuentran sus cuatro vértices, y otra esfera (la esfera inscrita) tangente a las caras del tetraedro.
Tetraedro regular
Un tetraedro regular es aquel cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros. En otras palabras, todas sus caras tienen el mismo tamaño y forma (son congruentes) y todas sus aristas tienen la misma longitud. El tetraedro regular es el deltaedro más simple, un poliedro cuyas caras son triángulos equiláteros; existen otros siete deltaedros convexos.
Tetraedros irregulares Si los tres pares de aristas opuestas de un tetraedro son perpendicularidad, se denomina tetraedro ortocéntrico. Cuando solo un par de aristas opuestas son perpendiculares, se denomina tetraedro semiortocéntrico.
En un tetraedro trirrectangular, los tres ángulos de las caras en un vértice son ángulo recto, como en la esquina de un cubo.
Un tetraedro isodinámico es aquel en el que los triángulos ceviana que unen los vértices a los triángulos incenters de las caras opuestas son triángulos concurrent.
Un tetraedro isogónico tiene triángulos cevianos concurrentes que unen los vértices a los puntos de contacto de las caras opuestas con los triángulos esfera inscrita del tetraedro.
Disfenoides
Un disfenoide es un tetraedro con cuatro triángulos congruentes como caras; los triángulos necesariamente tienen todos los ángulos agudos. El tetraedro regular es un caso especial de disfenoides. Otros nombres para la misma figura incluyen bisfenoides, tetraedro isósceles y tetraedro equifacial.
Ortoesquemas
Un 3-ortoesquema es un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos rectágulos. Un 3-ortoesquema no es un disfenoide, ya que sus aristas opuestas no tienen la misma longitud. No es posible construir un disfenoide con alguna cara que sea un triángulo rectángulo o un triángulo obtusángulo.
Un ortoesquema es un símplex irregular que es la envolvente convexa de un árbol en el que todas las aristas son mutuamente perpendiculares. En un ortoesquema tridimensional, el árbol consta de tres aristas perpendiculares que conectan los cuatro vértices en una trayectoria lineal que realiza dos giros en ángulo recto. El 3-ortoesquema es un tetraedro con dos ángulos rectos en dos de sus vértices, por lo que también se le conoce como tetraedro birrectangular. Asimismo, se le denomina tetraedro cuadrirrectangular, ya que contiene cuatro ángulos rectos.
Coxeter también denomina a los tetraedros cuadrirrectangulares tetraedros característicos, debido a su relación integral con los politopos regulares y sus grupos de simetría. Por ejemplo, el caso especial de un 3-ortoesquema con aristas perpendiculares de igual longitud es característica del cubo, lo que significa que el cubo puede subdividirse en instancias de este ortoesquema. Si sus tres aristas perpendiculares tienen longitud unitaria, las aristas restantes son dos de longitud y una de longitud , por lo que todas sus aristas son aristas o diagonales del cubo. El cubo puede dividirse en seis ortoesquemas de 3 dimensiones de cuatro maneras diferentes, rodeando los seis la misma diagonal del cubo de longitud . El cubo también puede dividirse en 48 instancias más pequeñas de este mismo ortoesquema característico de 3 dimensiones (de una sola manera, considerando todos sus planos de simetría simultáneamente). El tetraedro característico del cubo es un ejemplo de tetraedro heroniano.
Todo politopo regular, incluido el tetraedro regular, posee su propio ortoesquema característico. Existe un ortoesquema de 3 dimensiones, que corresponde al tetraedro característico del tetraedro regular. El tetraedro regular se subdivide en 24 instancias de su tetraedro característico mediante sus planos de simetría. Los 24 tetraedros característicos del tetraedro regular se presentan en dos formas simétricas, 12 de cada una.
Características del tetraedro regularAristaArcoDiedro𝒍109°28′16″70°31′44″𝟀70°31′44″60°𝝉54°44′8″60°𝟁54°44′8″60°35°15′52″
Si el tetraedro regular tiene una longitud de arista 𝒍 = 2, las seis aristas de su tetraedro característico tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior triangular-rectangular (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), más , , (aristas que son los radios característicos del tetraedro regular). El camino de 3 aristas en las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , primero desde un vértice del tetraedro hasta el centro de una arista del tetraedro, luego girando 90° hasta el centro de una cara del tetraedro, y luego girando 90° hasta el centro del tetraedro. El ortoesquema tiene cuatro caras de triángulos rectángulos disímiles. La cara exterior es un triángulo 60-90-30 que es un sexto de una cara del tetraedro. Las tres caras interiores al tetraedro son: un triángulo rectángulo con aristas , , , un triángulo rectángulo con aristas , , , y un triángulo rectángulo con aristas , , .
Tetraedros que llenan el espacio Un tetraedro que llena el espacio se empaqueta con copias directamente congruentes o enantiomorfas (imágenes especulares) de sí mismo para cubrir el espacio. El cubo se puede diseccionar en seis ortoesquemas de dimensión 3, tres levógirOs y tres dextrógirOs (uno de cada tipo en cada cara del cubo), y los cubos pueden llenar el espacio, por lo que el ortoesquema característico de dimensión 3 del cubo es un tetraedro que llena el espacio en este sentido. El ortoesquema característico del cubo es uno de los tetraedros de Hill, una familia de tetraedros que llenan el espacio. Todos los tetraedros que llenan el espacio son congruentes por tijera con un cubo).
Un disfenoide puede ser un tetraedro que llena el espacio en el sentido de congruencia directa, como en el panal tetraédrico disfenoidal. Los tetraedros regulares, sin embargo, no pueden llenar el espacio por sí solos (además, no son congruentes por tijera con ningún otro poliedro que pueda llenar el espacio; véase el Tercer problema de Hilbert). El panal tetraédrico-octaédrico llena el espacio con celdas de tetraedros regulares alternadas y celdas de octaedros regulares en una proporción de 2:1.
Dominios fundamentales
Un tetraedro irregular, que es el dominio fundamental de un grupo de simetría, es un ejemplo de un tetraedro de Goursat, que generan todos los poliedros regulares (y muchos otros poliedros uniformes) mediante reflexiones especulares, un proceso conocido como construcción caleidoscópica de Wythoff.
Para los poliedros, la construcción de Wythoff dispone tres espejos que forman ángulos entre sí, como en un caleidoscopio. A diferencia de un caleidoscopio cilíndrico, los espejos de Wythoff se ubican en tres caras de un tetraedro de Goursat, de modo que los tres se intersecan en un único punto. El diagrama diagrama de Coxeter-Dynkin del poliedro generado contiene tres nodos que representan los tres espejos. El ángulo diedro entre cada par de espejos está codificado en el diagrama, así como la ubicación de un único punto generador, que se multiplica por las reflexiones de los espejos en los vértices del poliedro.
Entre los tetraedros de Goursat que generan panales tridimensionales, se puede reconocer un ortoesquema (el tetraedro característico del cubo), un ortoesquema doble (el tetraedro característico del cubo unido por una cara a su imagen especular) y el disfenoide que llena el espacio, ilustrado arriba. El disfenoide es el ortoesquema doble unido por una cara a su imagen especular (un ortoesquema cuádruple). Por lo tanto, estos tres tetraedros de Goursat, y todos los poliedros que generan por reflexión, pueden ser diseccionados empleando los tetraedros característicos del cubo.
Subdivisión y clases de similitud La subdivisión de tetraedros es un proceso utilizado en geometría computacional y modelado 3D para dividir un tetraedro en varios tetraedros más pequeños. Este proceso aumenta la complejidad y el detalle de las mallas tetraédricas, lo que resulta particularmente beneficioso en simulaciones numéricas, análisis de elementos finitos y gráficos por computadora. Uno de los métodos de subdivisión más comunes es la Bisección de Arista Más Larga (LEB), que identifica la arista más larga del tetraedro y la biseca en su punto medio, generando dos nuevos tetraedros más pequeños. Cuando este proceso se repite varias veces, dividiendo por la mitad todos los tetraedros generados en cada iteración anterior, se denomina LEB iterativo.
Una clase de similitud es el conjunto de tetraedros con la misma forma geométrica, independientemente de su posición, orientación y escala específicas. Por lo tanto, dos tetraedros cualesquiera que pertenezcan a la misma clase de similitud pueden transformarse entre sí mediante una transformación afín. El hecho de tener un número limitado de clases de similitud en los métodos de subdivisión iterativos es significativo para el modelado y la simulación computacional. Reduce la variabilidad en las formas y tamaños de los tetraedros generados, evitando la formación de elementos altamente irregulares que podrían comprometer los resultados de la simulación.
Se ha demostrado que el LEB iterativo del tetraedro regular produce solo 8 clases de similitud. Además, en el caso de tetraedros casi equiláteros donde sus dos aristas más largas no están conectadas entre sí, y la relación entre su arista más larga y su arista más corta es menor o igual a , el LEB iterado produce no más de 37 clases de similitud.
Propiedades geométricas thumb|Tetraedro no regular. En todo tetraedro se verifican las siguientes propiedades:
Los segmentos que unen los puntos medios de las aristas opuestas (bimedianas) son concurrentes en un punto; este es el punto medio de dichos segmentos. Los segmentos que unen cada vértice con los puntos de intersección de las medianas de su cara opuesta son también concurrentes en un punto, que los divide separando tres cuartas partes del lado del vértice respectivo (según el teorema de Commandino). Los seis planos perpendiculares a las aristas por sus puntos medios pasan por un mismo punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro. Las rectas perpendiculares a las caras por su circuncentro son concurrentes en un punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro. Los planos bisectores de los diedros interiores de un tetraedro concurren en un punto equidistante (incentro) de las cuatro caras, centro de la esfera inscrita al tetraedro. El plano que pasa por una arista y por el punto medio de la arista opuesta biseca el tetraedro regular en dos figuras congruentes. El volumen de cada parte es la mitad del volumen de la figura original.Elementos de Geometría de Bruño El tetraedro tiene característica de Euler 2. Shishkin: Característica de Euler Las bimedianas se cortan en un punto interior llamado centro de masas, y se bisecan mutuamente.
Propiedades métricas
Volumen
El volumen de un tetraedro es V = , siendo B el área de una cara y h la altura del tetraedro, o sea el segmento perpendicular al plano de la base desde el vértice opuesto.