En teoría de números, la primera conjetura de Hardy–Littlewood muestra una fórmula asintótica para estimar el número de k-tuplas de primos menores que una magnitud dada mediante la generalización del teorema de los números primos. Fue propuesta por primera vez por G. H. Hardy y John Edensor Littlewood en 1923..

Enunciado

Sean números enteros positivos pares tales que los números de la sucesión no forman una clase de residuos completa con respecto a cualquier primo y sea el número de primos menores que siendo todos números primos. Entonces

donde

es un producto sobre los números primos impares y denota el número de residuos distintos de módulo .

El caso y es relacionado con la conjetura de los primos gemelos. Específicamente si denota el número de primos gemelos menores que n, entonces

donde

es la constante de los primos gemelos.

Número de Skewes

Los números de Skewes para k-tuplas de primos son una extensión de la definición de número de Skewes para k-tuplas de primos basadas en la primera conjetura de Hardy–Littlewood. El primer primo p que viola la desigualdad de Hardy–Littlewood para la k-tupla P, i.e., tal que

(si tal primo existe) es el número de Skewes para P.

Consecuencias

La conjetura se ha mostrado inconsistente con la segunda conjetura de Hardy–Littlewood.

Generalizaciones

La Conjetura de Bateman-Horn generaliza la primera conjetura de Hardy–Littlewood a polinomios de grado mayor que 1.

Referencias

Bibliografía

Categoría:Conjeturas sobre números primos