La conjetura de Yamabe es un problema de geometría diferencial que se refiere a la existencia de métricas de Riemann con curvatura escalar constante , y toma su nombre del matemático Hidehiko Yamabe. A principios de 1960 Yamabe afirmó tener una solución, y murió a finales de ese mismo año. Pero Trudinger en 1968 descubrió un error crítico en la prueba. El trabajo combinado de Neil Trudinger, Thierry Aubin y Richard Schoen luego proporcionó una solución completa al problema en 1984.http://www.math.mcgill.ca/gantumur/math580f12/Yamabe.pdf
Enunciado
El problema de Yamabe es el siguiente: dada una variedad suave y compacta de dimensión con una métrica riemanniana , ¿existe una métrica conforme a para la cual la curvatura escalar de es constante? En otras palabras, ¿existe una función suave en para la cual la métrica tiene una curvatura escalar constante?
Respuesta Ahora se sabe que la respuesta es sí, y se demostró usando técnicas de geometría diferencial, análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales.
El caso no compacto Una pregunta estrechamente relacionada es el llamado "problema de Yamabe no compacto", que pregunta: ¿Es cierto que en cada variedad de Riemann completa que no es compacta, existe una métrica que es conforme a g , tiene una curvatura escalar constante y también está completa? La respuesta es no, debido a contraejemplos dados por Jin (1988) .
Referencias
Bibliografía .
Categoría:Geometría de Riemann Categoría:Problemas matemáticos