El modelo de Black-Scholes o ecuación de Black-Scholes es una ecuación usada en matemática financiera para determinar el precio de determinados activos financieros.

A partir de la ecuación diferencial parcial parabólica del modelo, conocida como ecuación de Black-Scholes, se puede deducir la fórmula de Black-Scholes, la cual proporciona una estimación teórica del precio de las opciones estilo europeo y muestra que la opción tiene un precio único dado el riesgo del valor subyacente y su rendimiento esperado (sustituyendo el rendimiento esperado del valor por la tasa libre de riesgo). La ecuación y el modelo reciben su nombre en honor a los economistas Fischer Black y Myron Scholes. A veces también se atribuye a Robert C. Merton, quien escribió el primer artículo académico sobre el tema.

El principio principal detrás del modelo es cubrir (cobertura) la opción comprando y vendiendo el activo subyacente de una manera específica para eliminar el riesgo. Este tipo de cobertura se denomina "cobertura delta revisada continuamente" y es la base de estrategias de cobertura más complicadas, como las utilizadas por bancos de inversión y fondos de cobertura (hedge funds).

El modelo es ampliamente utilizado, aunque a menudo con algunos ajustes. Las suposiciones del modelo se han generalizado de diferentes maneras, lo que ha llevado a una plétora de modelos que se utilizan actualmente en la valoración de derivados y la gestión de riesgos. Las ideas fundamentales del modelo, ejemplificadas por la fórmula de Black-Scholes, son utilizadas con frecuencia por los participantes del mercado, a diferencia de los precios reales. Estas ideas incluyen límites de no arbitraje y la valoración neutral al riesgo (gracias a la revisión continua). Además, la ecuación de Black-Scholes, una ecuación diferencial parcial que gobierna el precio de la opción, permite la valoración utilizando métodos numéricos cuando no es posible una fórmula explícita.

La fórmula de Black-Scholes tiene solo un parámetro que no se puede observar directamente en el mercado: la volatilidad futura promedio del activo subyacente, aunque puede inferirse a partir del precio de otras opciones. Dado que el valor de la opción (ya sea de compra -call- o de venta -put-) es creciente en este parámetro, se puede invertir para producir una "superficie de volatilidad" que luego se utiliza para calibrar otros modelos, por ejemplo, para derivados over-the-counter (OTC).

Historia La tesis de Louis Bachelier en 1900 fue la primera publicación en aplicar el movimiento browniano a la valoración de derivados, aunque su trabajo tuvo poco impacto durante muchos años e incluía limitaciones importantes para su aplicación a los mercados modernos. En la década de 1960, Case Sprenkle, James Boness, Paul Samuelson y el entonces estudiante de doctorado de Samuelson, Robert C. Merton, realizaron importantes contribuciones a la teoría de valoración de opciones.

Fischer Black y Myron Scholes demostraron en 1968 que una revisión dinámica de una cartera elimina el rendimiento esperado del valor, creando el argumento de neutralidad al riesgo.Taleb, 1997. pp. 91, 110–111. Basaron su pensamiento en trabajos previos realizados por investigadores y practicantes del mercado, incluidos los trabajos mencionados anteriormente, así como en el trabajo de Sheen Kassouf y Edward O. Thorp. Black y Scholes luego intentaron aplicar la fórmula a los mercados, pero incurrieron en pérdidas financieras debido a una falta de gestión de riesgo en sus operaciones. En 1970, decidieron regresar al entorno académico. Después de tres años de esfuerzos, la fórmula —que lleva su nombre en su honor por hacerla pública— fue finalmente publicada en 1973 en un artículo titulado "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" en el Journal of Political Economy. Robert C. Merton fue el primero en publicar un artículo que ampliaba la comprensión matemática del modelo de valoración de opciones y acuñó el término "modelo de valoración de opciones Black-Scholes".

La fórmula condujo a un auge en el trading de opciones y proporcionó legitimidad matemática a las actividades del Chicago Board Options Exchange y otros mercados de opciones en todo el mundo.

Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel de Economía de 1997 por su trabajo, citando el comité su descubrimiento de la revisión dinámica neutral al riesgo como un avance que separa la opción del riesgo del valor subyacente. Aunque no era elegible para el premio debido a su fallecimiento en 1995, Black fue mencionado como contribuyente por la Royal Swedish Academy of Sciences.

Desarrollo del modelo de Black-Scholes para el caso europeo

Hipótesis El modelo Black-Scholes asume que el mercado consiste en al menos un activo riesgoso, usualmente llamado acción, y un activo libre de riesgo, usualmente llamado mercado monetario, efectivo o bono.

Se hacen las siguientes suposiciones sobre los activos (que se relacionan con los nombres de los activos):

Tasa libre de riesgo: La tasa de rendimiento del activo libre de riesgo es constante y, por lo tanto, se denomina tasa de interés libre de riesgo. Marcha aleatoria (Random walk): El rendimiento logarítmico instantáneo del precio de la acción es una marcha aleatoria infinitesimal con deriva (drift); más precisamente, el precio de la acción sigue un movimiento browniano geométrico, y se supone que la deriva y la volatilidad del movimiento son constantes. Si la deriva y la volatilidad varían con el tiempo, se puede deducir una fórmula de Black-Scholes modificada adecuadamente, siempre que la volatilidad no sea aleatoria. La acción no paga dividendos.Although the original model assumed no dividends, trivial extensions to the model can accommodate a continuous dividend yield factor.

Las suposiciones sobre el mercado son:

No hay oportunidades de arbitraje (es decir, no hay forma de obtener una ganancia libre de riesgo superior a la tasa libre de riesgo). Posibilidad de pedir prestado y prestar cualquier cantidad, incluso fraccionaria, de efectivo a la tasa libre de riesgo. Posibilidad de comprar y vender cualquier cantidad, incluso fraccionaria, de la acción (esto incluye las ventas en corto -short selling-). Las transacciones anteriores no incurren en comisiones ni costos (es decir, mercado sin fricciones).

Con estas suposiciones, suponga que también hay un valor derivado que se negocia en este mercado. Se especifica que este valor tendrá un pago determinado en una fecha futura específica, dependiendo de los valores de la acción hasta esa fecha. Aunque se desconoce la trayectoria que tomará el precio de la acción en el futuro, el precio del derivado puede determinarse en el momento actual. Para el caso especial de una opción de compra (call) o venta (put) europea, Black y Scholes demostraron que "es posible crear una posición cubierta, que consiste en una posición larga en la acción y una posición corta en la opción, cuyo valor no dependerá del precio de la acción". Su estrategia de cobertura dinámica condujo a una ecuación diferencial parcial que gobierna el precio de la opción. Su solución viene dada por la fórmula de Black-Scholes.

Varias de estas suposiciones del modelo original se han eliminado en extensiones posteriores del modelo. Las versiones modernas tienen en cuenta las tasas de interés dinámicas, los costos de transacción y los impuestos, y el pago de dividendos.

Notación La notación utilizada en el análisis del modelo Black-Scholes se define a continuación (definiciones agrupadas por tema): General y relacionada con el mercado:

es un tiempo en años; siendo generalmente el año presente. es el tipo de interés libre de riesgo anualizado, compuesto de forma continua (también conocido como fuerza del interés).

Relacionada con el activo:

es el precio del activo subyacente en el tiempo *t*, también denotado como . es la tasa de deriva (drift) de , anualizada. es la desviación estándar de los rendimientos de la acción. Esta es la raíz cuadrada de la variación cuadrática del proceso de precio logarítmico de la acción, una medida de su volatilidad.

Relacionada con la opción:

es el precio de la opción en función del activo subyacente S en el tiempo en t particular. es el precio de una opción de compra (call) europea. es el precio de una opción de venta (put) europea. es el tiempo de expiración de la opción. es el tiempo hasta el vencimiento: . es el precio de ejercicio (strike) de la opción.

denota la función de distribución acumulativa normal estándar:

denota la función de densidad de probabilidad normal estándar:

Valoración Neutral al Riesgo (VNR)

La Valoración Neutral al Riesgo (VNR) es el pilar conceptual sobre el que se construyen las fórmulas de Black-Scholes. Es el método que nos permite encontrar el precio de un derivado basándonos en el principio de no arbitraje.

Concepto de VNR La idea fundamental es que, en un mercado sin oportunidades de arbitraje, existe un precio único y justo para una opción. El Primer Teorema Fundamental de la Valoración de Activos nos dice cómo encontrar ese precio usando un atajo lógico:

Medida P En el mundo real (Medida ), los inversores tienen aversión al riesgo. Exigen una compensación por asumir riesgos, por lo que el rendimiento esperado de una acción () es mayor que la tasa libre de riesgo (). El problema es que es desconocido y varía para cada inversor, haciendo imposible un acuerdo sobre el precio.

Medida Q En un mundo hipotético (Medida ), el teorema nos dice que si el mercado no tiene arbitraje, existe neutralidad al riesgo, donde:

Todos los inversores son indiferentes al riesgo. Como resultado, el rendimiento esperado de todos los activos (incluida nuestra acción) es exactamente la tasa libre de riesgo ().

Por lo tanto, el precio de la opción en el mundo real () es idéntico al precio calculado en el mundo neutral al riesgo ().

Esto nos permite ignorar el rendimiento esperado real de la acción () para calcular el precio de una opción y, en su lugar:

Pretender que estamos en el mundo , donde la acción crece a la tasa . Calcular el payoff promedio (esperado) que tendría la opción en ese mundo. Descontar ese payoff esperado de vuelta al presente usando la tasa libre de riesgo .

La Fórmula de VNR Este procedimiento se formaliza en la fórmula de la valoración de derivados. El valor de la opción hoy, , es el valor presente del payoff esperado al vencimiento (), calculado bajo la medida neutral al riesgo :

Donde:

: Es el precio de la opción hoy (en tiempo ). : Es el tiempo que falta hasta el vencimiento (). : Es el factor de descuento a valor presente, usando la tasa libre de riesgo con capitalización continua. : Es el operador de Expectativa (el promedio esperado), calculado bajo las reglas del mundo neutral al riesgo (). : Es la función que define el valor de la opción al vencimiento (ej. para una call). : Esta notación técnica significa "condicionado a toda la información conocida hoy (en tiempo )".

Esta ecuación es nuestro nuevo punto de partida. Todo el problema de la valoración de opciones se reduce ahora a un problema estadístico: ¿cómo calculamos ese valor esperado ?

Herramientas para Calcular la VNR

Supuesto de Distribución del Activo (Log-normal) El modelo Black-Scholes asume que los precios de las acciones siguen un Movimiento Browniano Geométrico (GBM). En el mundo neutral al riesgo (), esto significa que el rendimiento esperado del activo es la tasa libre de riesgo .

Este supuesto tiene una consecuencia matemática crucial:

El precio del activo en el futuro, , sigue una distribución log-normal.

Esto significa que el logaritmo del precio, , sigue una distribución normal (la clásica curva de campana).

Una distribución log-normal describe bien los precios de las acciones porque, a diferencia de una distribución normal, no puede tomar valores negativos y está sesgada (su media, mediana y moda son diferentes).