Gradient er et matematisk begreb, der betegner en vektor; dvs. noget der har både størrelse og retning.Matematiske formelsamlinger til stx - Matematik - STX | Emu.dk Desuden afhænger gradienten af en funktions partielle afledte.https://imada.sdu.dk/~jessica/MM501-s41.pdf De partielle afledte er differentialkvotienter med en hensyn til hver sin funktionsvariable. Man kan kun beregne en gradient for en flervariabel funktion, altså en funktion af flere variable.https://science-gym.dk/mat/20002010/funk2var.pdf
Det nedenstående gælder for gradienten for en funktion af de to variable, og .
Notation Udgangspunktet er en funktion af de to variable og sådan:
For at beregne funktionens gradient beregner man først de to partielle afledte:gradient | lex.dk – Den Store Danske
og
For at skabe en vektor multiplicerer man hver afledte med den tilsvarende enhedsvektor. En to-dimensionel vektor kan deles op i en - og en -komposant, der hver består af en enhedsvektor ( og ) multipliceret med længden, som har her sættes til at være den afledtes værdier. Summen af de to komposanter giver gradienten :
Symbolet kaldes nabla.nabla | lex.dk – Den Store Danske
Man siger også, at man anvender vektordifferentialoperatoren nabla på funktionen. Denne operator er givet ved:
Ved at skrive de to afledede under hinanden (som er det typiske for en vektor), så bliver gradienten:
Gradienten er en kombination af de partielle afledte. De partielle afledte er en funktions hældning målt langs forskellige koordinatakser. Så gradienten er en kombination af disse hældninger.
Når gradienten er nul-vektoren Gradienten kan tolkes sådan:
For en funktion af to variable peger gradienten, der er en vektor i et punkt på grafen for , i den retning, som funktionen vokser mest.
Af ovenstående definition af fås punktet
Man viser, at gradienten er nul-vektoren
Et punkt til hvilket gradienten er nul-vektoren,Stationære punkter (Matematik A, Funktioner af to variable) – Webmatematik er et stationært punkt.
Art af stationære punkter
Et stationært punkt kan testes.stationært punkt | lex.dk – Den Store Danske Testen kan fastslå, om der i det stationære punkt er enten
et (lokalt) maksimum
et (lokalt) minimum
et saddelpunkt
eller ingen af de tre nævnte typer.https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/hvadermatematik/hem3download/kap5_QR18_Arten_af_stationaere_punkter_Bevis_for_saetning_11.pdf
For at kunne starte den test er det nødvendigt først at gennemføre disse beregninger:https://www.lmfk.dk/artikler/data/artikler/2002/2002_22.pdf
= den dobbelte afledede med hensyn til
= den dobbelte blandende afledede
= den dobbelte afledede med hensyn til
Herefter beregner man:
Så bliver testens konklusion:http://www.hax.dk/pdf/Stationaere.pdf
for både og så har et (lokalt) minimum i er det stationære punkt og det tilhørende punkt på grafen er
for og så har et (lokalt) maksimum i er det stationære punkt og det tilhørende punkt på grafen er
for så har et saddelpunkt i er det stationære punkt og det tilhørende punkt på grafen er
for så er i det stationære punkt hverken et (lokalt) minimum eller (lokalt) maksimum og heller ikke et saddelpunkt.
Videre læsning Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 3: OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. (online). Referencer
Kategori:Differentialregning Kategori:Vektorer Kategori:Forholdstal Kategori:Rater