thumb|Figuren illustrerer en trekant med hjørnepunkterne A, B og C. Længderne af de modstående sider er henholdsvis = 13, = 19 og = 11. Hvor store er de hosliggende vinkler , og ?

Cosinusrelationerne er en række trigonometriske formler, som kan bruges til at beregne ukendte vinkler eller sider i en vilkårlig trekant. Sidernes længder betegnes traditionelt , og og deres modstående vinkler for henholdsvis , og .

For bestemmelse af vinklerne ud fra siderne benyttes cosinusrelationerne, som vises herunder:

For bestemmelse af sider omskrives formlerne således:

For en retvinklet trekant er en af vinklerne lig med 90° og dens cosinus derfor lig med 0. Disse cosinusrelationer reduceres i så fald til den klassiske Pythagoras' sætning for retvinklede trekanter, ; de kaldes derfor også den udvidede Pythagoras.

Ved anvendelse af cosinusrelationerne vil man i én af ovenstående ligninger isolere enten en side eller en vinkel. Da en vinkel i en trekant altid har en værdi mellem 0° og 180°, er den entydigt bestemt af sin cosinus, der aftager monotont fra værdien cos(0°) = +1 til cos(180°) = −1.

Eksempler

Bestemmelse af vinkler:

Lad en trekant have sidelængderne

Vi finder da, at

| style="text-align:right" | Kontrol || || ||

Bestemmelse af en side:

Lad en trekant have stykkerne

Vi søger siden :

Beviser

Beviset falder i to dele, alt efter om vinklen er spids eller stump.

Spids vinkel, C < 90°

thumb|I den spidsvinklede trekant ABC er sidelængderne , og . Fra B nedfældes den vinkelrette, som skærer AC i F. Længden af højden BF betegnes . Længden af FC kaldes , så længden af AB bliver .

Som vist på illustrationen nedfældes den vinkelrette fra B. Den danner en højde i trekanten med fodpunkt F. Man indfører to hjælpestørrelser, højdens længde og delstykket . Vi kan nu anvende Pythagoras' sætning på de to dannede retvinklede trekanter:

Trekant FBC: Trekant FBA:

Da venstresiderne er ens, er højresiderne det også:

( går ud!)

Omsider får vi

Q.E.D.

Beviserne for de to andre vinkler følger ved simpel bogstavombytning.

Stump vinkel, C > 90°

thumb|I den stumpvinklede trekant ABC nedfældes den vinkelrette, som skærer forlængelsen af AC i F. Igen indføres to hjælpestørrelser, og .

Som vist på illustrationen nedfældes den vinkelrette fra B og man indfører to hjælpestørrelser, højdens længde og delstykket . danner en højde i trekanten med længde og fodpunkt F. Igen anvendes Pythagoras' sætning på de to dannede retvinklede trekanter: Trekant FBC: Trekant FBA:

Man får nu, at

( går ud!)

Omsider får vi

jævnfør en egenskab ved cosinus. Det er altså samme formel som ovenfor.

Q.E.D

Cosinusrelationen for sfæriske trekanter

thumb | Tre storcirkler skærer hinanden. Skæringspunkterne A, B og C danner en sfærisk trekant. De modstående sider betegnes , og . og de hosliggende vinkler, markeret med små buer, , og .

For sfæriske trekanter på en kugleoverflade gælder gælder andre formler som også kaldes cosinusrelationer. De sfæriske cosinusrelationer er:

Se også Trekant Trekanttilfælde Retvinklet trekant Sinusrelationen Sfærisk trigonometri

Bøger

Emnet behandles i alle matematikbøger på gymnasiets A-niveau.

Klaus Holth m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1, side 60. Forlaget Trip, Vejle. . Jens Carstensen, Jesper Frandsen (1997): MAT 1, side 190. Systime. . Knud Erik Nielsen, Esper Fogh (2010): Vejen til matematik AB1, side 299. Forlaget Hax. .

Referencer

Eksterne henvisninger CosSinCalc – Et online-værktøj, der udregner sider og vinkler i en trekant.

Kategori:Matematiske beviser Kategori:Vinkel Kategori:Trigonometri