En vektor er i geometrien et objekt, der er defineret ved at have en længde og en retning. To vektorer regnes for at være ens, hvis de har samme længde og retning, også selvom de er placeret forskellige steder. Vektorer kan dermed parallelforskydes.Schultz (1990) s. 7 Vektorer der udgår fra et koordinatsystems origo (0,0,..) kaldes stedvektorer. En vektor kan opfattes som et orienteret liniestykke; Med andre ord: En vektor kan forstås som et linjestykke med retningsangivelse.vektor (matematisk begreb) - Størrelse og retning - lex.dk I modsætning til vektorer kaldes normale tal, som kun har én størrelse (én dimension) og ingen retning, for skalarer. En vektor, som ikke er en stedvektor, kaldes en egentlig vektor.Vektorer i planen

Vektorer anvendes også i andre sammenhænge end geometri, hvor et fænomen defineres ved både størrelse og retning, for eksempel til at beskrive hastigheder. En hastighed har nemlig både en størrelse (kaldet farten) og en retning. Inden for fysikken beskriver vektorer også eksempelvis kræfter og acceleration etc. Vektorer anvendes ofte i to dimensioner (en plan), eller i tre dimensioner (rummet), men vektorer kan anvendes i ethvert antal dimensioner - endda uendeligt mange (abstrakte) dimensioner. Nul-vektoren har samme dimension som det rum, den er i og kan skrives 0. Den er atypisk, fordi den i modsætning til de øvrige (såkaldte egentlige) vektorer ingen retning/udstrækning har.Schultz (1990) s. 8

Notation Vektorer skrives ofte med en pil over et lille bogstav, men andre notationer ses også. Samtlige nedenstående måder at repræsentere en vektor på forekommer.

Hvis en vektor er defineret ud fra liniestykke, der udgår fra punkt A og ender i punkt B, benyttes skrivemåden , idet retningen bestemmes af udgangs- og slutpunktet. Vektoren definerer ethvert enkelt punkt, da et punkt pr. definition ingen udstrækning har.

Hvis man for eksempel i to dimensioner har en vektor med længden 5 og vinklen 45 grader i forhold til vandret (x- eller førsteaksen), kan man skrive:

Skrivemåden anvendes mest ved repræsentation af komplekse tal med en vektor.

Ellers angives en vektor i matrixform - enten som en søjle (kolonne):

eller række af vektorkoordinater: eller .

Hvis en vektors længde og vinkel er givet, og man ønsker at omskrive den til matrix-form, kan det gøres det sådan:

En vektor i tre eller flere dimensioner repræsenteres på lignende vis - blot med tilføjelse af en eller flere ekstra koordinater:

Vektor i n dimensioner, når n er et naturligt tal:

Længde af vektorer Længden af en vektor kan beregnes vha. Pythagoras, da man faktisk kan opfatte en vektor som hypotenusen i en retvinklet trekant, hvis kateters længder angives af vektorens koordinater. En vektors længde betegnes med ||·|| eller |.| og bestemmes sådan:

Formlen for længden af en én-dimensional vektor (en såkaldt Skalar) er givet ved: , for Formlen for længden af en to-dimensional vektor er givet ved:

, for Formlen for længden af en n-dimensional vektor er givet ved: , for

Prikken under kvadratrodstegnet i det såkaldte prikprodukt er ikke et (almindeligt) gangetegn, som man ellers let kunne tro. Se eventuelt definitionen af prikproduktet længere nede. At der er tale om priknotation og ikke normal multiplikation, er som regel underforstået, når prikken står mellem to vektorer. Bemærk, at en vektor ikke kan have en negativ længde. Prikproduktet kaldes også for skalarproduktet af to vektorer, fordi resultatet er en skalar. En vektor, som har længden 1 kaldes enhedsvektor.https://www.matematiksider.dk/perspektiv/perspektivet.pdf

Addition af vektorer right|300px|Addition af vektorer Når man skal lægge to vektorer sammen (med henblik på at finde en resulterende kraft), får man en ny vektor, den såkaldte sumvektor.Holth (1987) s. 63 Her benævnt med . Hvis man har to vektorer i det samme to-dimensionale rum: og , lægges de sammen på følgende måde:

Hvis man har tre eller flere vektorer, lægges de sammen efter samme princip: alle første-koordinaterne adderes, og alle anden-koordinaterne adderes etc. Summation af to vektorer kan foretages grafisk ved at placere den sidste vektors startpunkt, hvor den første har sit slutpunkt.

Subtraktion af vektorer right|250px|Subtraktion af vektorer Vektorer trækkes fra hinanden, efter samme princip, som man lægger sammen. Dog kan man opfatte vektorers differens som:

At man skriver betyder simpelthen at vektoren vendes og går i den modsatte retning. Det opfattes også som:

Men dette bruges kun grafisk. Analytisk trækker man vektorer fra hinanden:Schultz (1990) s. 10-11

Grundet lighederne med addition, er principperne ligeledes de samme for vektorer af vilkårlig dimension.

Skalering af vektor right|200px Når man skalerer en vektors, ganger man hver af vektorens koordinater med skaleringsfaktoren. Formlen er for vektorer i to dimensioner givet ved:Schultz (1990) s. 9

Man kalder også dette for skalarmultiplikation af en vektor. Skalaren ganges altså på hver af koordinaterne i vektoren. Her til højre ses to tilfælde, når henholdsvis og . Bemærk dog at regnereglen gør sig gældende for alle reelle tal, og ikke blot for heltal. Samme formel benyttes for vektorer i n dimensioner.

Når skalaren er ganget på vektoren vil vektoren nu have længden . Herudover vil vinklen i forhold til -aksen være bevaret, såfremt er positiv. I tilfælde af at skulle være negativ, vil vinklen være drejet 180 grader.

Tværvektor Tværvektoren er den vektor der står vinkelret på drejet mod urets retning.Schultz (1990) s. 14 Denne bliver undertiden også kaldet for hat-vektoren, da den noteres som . Tværvektoren er kun defineret for vektorer i planen, da der i vektorrum med højere dimension end to findes uendelig mange drejede vektorer, der står vinkelret på den oprindelige vektor.

Det er let at overbevise sig selv om at tværvektoren til en vektor er givet ved .

Prikprodukt

right|200px|De respektive informationer til skalarproduktet af to vektorer Prikproduktet (også kaldet skalarproduktet) er defineret for n-dimensionale vektorer og er en skalar.Schultz (1990) s. 16-17 Prikproduktet noteres ofte med en prik: , som ikke må forveksles med et gangetegn, men da to vektorer sjældent kan ganges sammen er der imidlertid ikke noget at tage fejl af. Nogle steder i litteraturen er prikken dog gjort ekstra stor, så der slet ikke er nogen tvivl om hvad der menes. Prikproduktet kaldes også for det indre produkt. For det n-dimensionelle tilfælde ser prikproduktet ud på denne måde:

Resultatet af prikproduktet altså et tal! For geometriske vektorerer gælder der ydermere at prikproduktet har følgende egenskab:

Regneregler for prikproduktet:

Givet tre vektorer a, b og c i planen eller rummet, samt tallet k. Der gælder:

(kommutativ regel) (distributiv regel)

Projektioner:

Givet to egentlige vektorer a og b i planen eller rummet så er længden af den ortogonale projektionen af b på a

og projektions vektoren:

Planprodukt

Planproduktet er udelukkende defineret for to-dimensionale vektorer og er lig med en skalar, hvis numeriske værdi er arealet af det parallelogram, der udspændes af to vektorer.Schultz (1990) s. 23-24 Fortegnet angiver, om de to vektorer er positivt orienterede eller negativt orienterede. Planproduktet er determinanten af den matrix der opstår ved at sammensætte søjle vektorernes koordinater i en matrix. Formlen for planproduktet af to vektorer er angivet nedenfor. Det kan kaldes et skalarprodukt, men dette kan dog forveksles med prikproduktet.

Hvis de to vektorer udgår fra samme punkt P og således danner to sider af en trekant så er det halve planprodukt lig med arealet af trekanten.

Planprodukt og prikprodukt er relaterede ved formlerne

og

Krydsprodukt

right|thumb|150px|Krydsprodukt Krydsproduktet er udelukkende defineret for tre-dimensionale vektorer og er lig med en vektor, der står vinkelret på den plan, der udspændes af to vektorer.Schultz (1990) s. 91-97 Krydsproduktet noteres med et kryds: ×. Den måde, hvorpå krydsproduktet udregnes, kræver beregning af hele tre determinanter. "Formlen" for krydsproduktet imellem to vektorer er angivet nedenfor.

Bemærk at krydsproduktet giver en vektor som resultat og at resultat vektoren ikke ligger i samme plan som de to vektorer der danner krydsproduktet. Herudover har denne nye vektor også den egenskab at dens længde angiver arealet af det parallelogram som de to vektorer udspænder. Til sidst kan størrelsen af krydsproduktet også benyttes til at bestemme vinklen imellem de to vektorer. . Man skal bemærke at :

Mere formelt DTU eNote 6

Vinkler mellem Vektorer Ved vinklen mellem to egentlige vektorer i planen forstår man den entydigt bestemte vinkel mellem deres stedvektorer (deres repræsentanter med samme startpunkt, nemlig udgående fra origo ), som ligger i intervallet . Hvis en vektor u i planen drejes vinklen mod uret, fremkommer en ny vektor, der kaldes u's tværvektor og betegnes û. Ved vinklen mellem to egentlige vektorer i rummet forstås vinklen mellem deres stedvektorer i den plan i rummet, som indeholder begge stedvektorer når de er placeret med origo som udgangspunkt.

Multiplikation med skalar

Der er givet en vektor v i planen eller rummet (evt med mere end 3 dimensioner) og en skalar k. Hvis v=0 , sætter vi kv = vk =0. I modsat fald forstås der ved produktet kv følgende:

Hvis k>0 så er kv = vk den vektor, der har samme retning som v , men som er gange k så lang som v . Hvis k=0 så er kv =0 Hvis k<0 så er kv = vk den vektor der har modsat retning af v , og som er |k| gange så lang som v.

Man ser at multiplicerer vi v med -1 så får vi en modsat rettet vektor (-1) v = -v .

Nul reglen for geometriske vektorer er i ord, hvis k v =0 så er entern k eller v lig nul og omvendt hvis enten k eller v eller begge er nul så er k v =0;

Parameterfremstilling

Der er givet en ret linje , som går gennem origo O. Punkterne på linjen beskrives ved hjælp af en parameterfremstilling.

Der vælges et punkt P på en linje , der ikke er det samme som origo. Vektoren kaldes en retningsvektor for linjen . Til ethvert punkt linjen på svarer der netop ét reelt tal t, der opfylder, at . Omvendt svarer der til ethvert tal t netop ét punkt P på linjen , så . Når t gennemløber de reelle tal fra , vil P gennemløbe hele linjen i den retning, som er bestemt ved r . Man siger, at

er en parameter fremstilling af linjen. Det fremhævede R er mængden af de reelle tall.

Givet en linje , der ikke går gennem origo. Punkterne P på linjen beskrives ved hjælp af en parameterfremstilling.

Først vælges et begyndelsespunkt B på linjen, vektoren b sættes til vektoren .Vektoren er da en retningsvektor for linjen. Til ethvert punkt på linjen svarer der netop ét reelt tal t , der opfylder, at . Omvendt svarer der til ethvert tal t netop ét punkt P på linjen , så . Når t gennemløber de reelle tal fra , vil P gennemløbe hele linjen i den retning, som er bestemt ved r . Man siger, at

er en parameter fremstilling af linjen.

Parameterfremstillinger som ovenfor beskriver rette linjer, der er uendeligt lange i hver retning. Men parameterfremstillinger kan afgrænses og derved også bruges til at beskrive linjestykker, her liniestykket hvor parameteren t begrænses til intervallet fra (-2) til 5 .

Regneregler

Det er vigtigt at bestemme regnereglerne for vektorer mere eksakt. Derved bliver en struktur defineret som kan anvendes for andre ting man kunne tænke sig at behandle nøjagtigt som vektorer. Er strukturerne ens så ligner de andre ting vektorer i den betydning at man kan udføre de samme operationer med dem.

For vilkårlige geometriske vektorer u, v og w og for vilkårlige reelle tal k og k1 og k2 gælder følgende regneregler:

u+v = v+u ; Addition er kommutativ (u+v) + w = u+ (v+w); Addition er associativ u+0 = u; Nulvektoren er neutral ved addition u+ (-u) = 0 ; Summen af en vektor og dens modsatte er nul k1 (k2u) = (k1 k2) u ; Multiplikation af vektor med skalar er associativ (k1 + k2) u = k1 u + k2u Distributiv regel