náhled|Giuseppe Peano (1858–1932) byl italský matematik, filosof a logik (portrét asi z roku 1920). V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou . Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu – teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s . Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.
Znění axiomů
Formální zápis V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následníkem žádného čísla):
Slovní zápis Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel: Existuje číslo (zpravidla označované 0), které není následníkem žádného čísla. Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n''', které je jeho následovníkem. Různá přirozená čísla mají různé následovníky. Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n, pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.
Axiom indukce Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce''', umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost . Tento axiom lze zapsat následovně: Pokud je výrok závisející na , tak: . Pokud je možné najít pro které platí výrok a pokud pro výrok platí pro větší , tak platí pro , potom výrok platí pro každé větší .
Definice operací a uspořádání na přirozených číslech Na množině splňující Peanovy axiomy lze definovat operace sčítání a násobení a relaci uspořádání takto: Součet definujeme indukcí podle druhého sčítance: . Součin definujeme indukcí podle druhého činitele: . Relaci definujeme formulí .
Přirozená čísla bez nuly Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.
Související články Peanova aritmetika Robinsonova aritmetika Presburgerova aritmetika Gödelovy věty o neúplnosti
Kategorie:Aritmetika
hu:Giuseppe Peano#A természetes számok Peano-axiómái