Hausdorffova míra (dále ) je „nížedimenzionální“ míra na , která dovoluje měřit jisté „velmi malé“ podmnožiny . Zavedl ji Felix Hausdorff. Základní myšlenkou je, že množina je „s-dimenzionální“ podmnožina množiny , platí-li
,
i když je velmi komplikovaná. je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí.
Formální definice Hausdorffovy míry Definice: Nechť Definujme
kde
tady
je obyčejná gamma funkce. Pro a s vlastnostmi jako výše, definujme:
nazveme s-dimenzionální Hausdorffovou mírou na .
Elementární vlastnosti Hausdorffovy míry
je Borelova regulární míra pro , není ale Radonova míra. Z toho plyne následující: je míra. je míra. je borelovská míra. Další zajímavé vlastnosti: je čítací míra. na , kde je Lebesgueova míra. na pro všechna . pro všechna . pro všechny afinní isometrie .
Literatura Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, .
Kategorie:Míry (teorie míry)