Teorém Noetherové je základní větou teoretické mechaniky a teoretické fyziky, která říká, že každé spojité symetrii fyzikálního systému odpovídá zákon zachování určité veličiny. Platí pro systémy, jejichž dynamika je odvozena z principu nejmenší akce.
Typickými příklady jsou vztahy mezi symetriemi a zákony zachování. Invariance vůči posunutí v čase vede k zákonu zachování energie, invariance vůči posunutí v prostoru k zákonu zachování hybnosti a rotační symetrie k zákonu zachování momentu hybnosti. Tyto zákony mají obvykle charakter tzv. slabých (on-shell) zákonů zachování, tj. platí za předpokladu, že jsou splněny pohybové rovnice systému.
Teorém je pojmenován po německé matematičce Emmě Noetherové a byl publikován v roce 1918.
Ilustrační příklady Příkladem může být pohyb tělesa v homogenním gravitačním poli. Samotné těleso (např. nepravidelný kámen) nemusí mít žádnou zvláštní symetrii, avšak pohybové rovnice jsou invariantní vůči posunutí v čase. Z této symetrie podle teorému Noetherové vyplývá zákon zachování energie. Podobně v případě volného pohybu v prostoru jsou rovnice invariantní vůči prostorovým posunutím a rotacím, což vede k zachování hybnosti a momentu hybnosti, i když samotný objekt může být zcela nesymetrický.
Historický vývoj Kořeny zákonů zachování sahají až do klasické mechaniky. Isaac Newton formuloval zákony pohybu, z nichž plyne zachování hybnosti izolovaných soustav. Již dříve Gottfried Wilhelm Leibniz zavedl pojem tzv. vis viva (živá síla), úměrný veličině , který představuje předchůdce pojmu kinetické energie. Na přelomu 18. a 19. století začali fyzikové rozvíjet systematičtější metody pro hledání invariantů. Významný krok představovalo zavedení Lagrangeovy mechaniky v roce 1788, která souvisí s principem nejmenší akce. Zachování energie se postupně vyvinulo v 19. století v pracích vědců, jako byli James Prescott Joule a Hermann von Helmholtz, kteří prokázali ekvivalenci různých forem energie a formulovali zákon jejího zachování. Zachování momentu hybnosti bylo systematicky rozvinuto v rámci klasické mechaniky a později zobecněno v teorii pole. Teprve práce Emmy Noetherové ukázala, že tyto zákony nejsou nezávislé, ale vyplývají ze symetrií fyzikálních zákonů.
Aplikace V moderní fyzice hraje teorém Noetherové klíčovou roli zejména v kvantové teorii pole, kde spojité symetrie vedou k zachovávajícím se proudům a nábojům. Například kalibrační invariance souvisí se zachováním elektrického náboje.
Teorém má význam i v obecné teorii relativity, kde se jeho zobecnění používá při definici zachovávajících se veličin v zakřiveném prostoročase a například při výpočtu entropie stacionárních černých děr.
Odvození
Předpokládejme, že máme funkcionál nazývaný akce, kde je konfigurační prostor závisející obecně na všech veličinách , kterými popisujeme daný systém. (Multiindex A tyto veličiny čísluje.)
Předpokládejme dále, že akci můžeme vyjádřit v obvyklém tvaru, jako integrál hustoty lagrangiánu
přes celý prostor
(Přitom předpokládáme, že lagrangián závisí jen na prvních derivacích zkoumaných proměnných. Pro vyšší derivace je zobecnění přímočaré.) Podle principu stacionární akce platí
a to tak, že na okraji M jsou veličiny nulové. (Jde o úlohu s pevnými okraji.) Provedením variace
kde
Protože jsou na M libovolné, musí platit což jsou rovnice popisující daný systém.
Nyní mějme spojitou k-parametrickou transformaci souřadnic
vůči které jsou fyzikální zákony invariantní. jsou obecně libovolné diferencovatelné funkce, jsou infinitezimální parametry, které generují příslušnou Lieovu grupu symetrií a i probíhá hodnoty 1..k. Tato transformace indukuje transformaci zkoumaných veličin
Protože se při ní (z předpokladů věty) nemění tvar pohybových rovnic, platí
takže pro akci systému platí
Protože transformace symetrie je infinitezimální, můžeme nahradit integrování přes M' v souřadnicích x' integrováním přes M v souřadnicích x, pokud při tom zároveň přičteme povrchový člen, o který se liší na hranici M. Ten vypočteme jako plošný integrál hustoty lagrangiánu krát skalární součin normály hranice s .
což dále upravíme podle Gaussovy věty a pro hraniční členy dosadíme , (variace na hranici je nulová,) čímž obdržíme tvar
Dosadíme-li tento tvar do rovnice (♠), obdržíme tvar
což přepíšeme jako
kde jsme zavedli
je tzv. Lieova derivace podle pole . Veličina se v užším kontextu, kde uvažujeme jako souřadnici jenom čas, označuje jako izochronní variace.
Diferencováním získáme
což lze pomocí integrace per partes a Gaussovy věty jako
Pokud se dá vyjádřit jako a má platit pro všechna a zároveň platí , získáme k rovnic
což jsou hledané zákony zachování.
Zákon zachování energie Nyní uvažujme pouze soustavu hmotných bodů, které se nacházejí v potenciálu, který závisí jen na jejich vzájemné poloze. Lagrangián je tedy dán jako
Roli souřadnice zde hraje jen čas t, zatímco polohy hrají roli zkoumaných veličin výše označených jako . Protože nás zajímá infinitezimální transformace spojená s posunem v čase, zvolíme
Z toho dopočteme
Povšimněme si, že je nenulové, zatímco jsou nulové – o symetrie spojené s posunem v prostoru se nyní nezajímáme. Zákon zachování tedy dostáváme ve tvaru
což po dalších úpravách
přejde na hledaný zákon zachování energie.
Reference
Literarura
Související články Lieova grupa Variační princip Teoretická mechanika Zákony zachování
Kategorie:Teoretická mechanika Kategorie:Variační počet Kategorie:Symetrie Kategorie:Vzniklo 1918