V matematice říká nerovnost aritmetického a geometrického průměru (krátce AG nerovnost), že aritmetický průměr nezáporných čísel je vždy větší nebo roven geometrickému průměru těchto čísel. Navíc, rovnost nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná čísla stejná.
Tvrzení Formálně se nerovnost zapíše pro , nebo zkráceně
případně ekvivalentně .
Důkaz Pro dvě čísla elementární, ekvivalentní vztahu , také názorně plyne z Euklidovy věty o výšce.
Nabízí se důkaz matematickou indukcí, je však obtížný. Cauchy zde však elegantně použil techniku tzv. sestupné indukce.
Tvrzení bezprostředně plyne z Jensenovy nerovnosti a existuje i celá řada elementárnějších důkazů, např. Pólyův pomocí nerovnosti .
AG nerovnost je rovněž ekvivalentní nerovnosti mezi geometrickým a harmonickým průměrem.
Odkazy
Související články Nerovnosti mezi průměry
Externí odkazy Důkaz AG nerovnosti Elegantní důkaz AG nerovnosti od doc. Pražáka
Aritmetický a geometrický průměr Kategorie:Statistika