Kotečný svazek (anglicky cotangent bundle) hladké variety je vektorový svazek tvořený disjunktním sjednocením všech kotečných prostorů variety.

Označuje se

Kotečný svazek je duálním svazkem tečného svazku a představuje jeden ze základních objektů diferenciální geometrie, symplektické geometrie a teoretické fyziky.

Definice Kotečný svazek hladké variety je vektorový svazek

kde projekce každému kovektoru přiřazuje bod variety, ve kterém je tento kovektor definován.

Vlákno nad bodem je kotečný prostor Celkový prostor kotečného svazku je tvořen disjunktním sjednocením všech kotečných prostorů variety

Je-li , pak je kotečný svazek vektorovým svazkem hodnosti .

Vztah k tečnému svazku Kotečný svazek je duálním svazkem tečného svazku. Zatímco vláknem tečného svazku nad bodem je tečný prostor , vláknem kotečného svazku je jeho duální prostor

Prvky kotečného prostoru jsou lineární zobrazení

která každému tečnému vektoru přiřazují reálné číslo.

Je-li na varietě definován metrický tenzor, lze pomocí něj přirozeně převádět tečné vektory na kovektory a naopak. Tečný a kotečný svazek jsou tak navzájem úzce propojeny.

Řezy kotečného svazku Řez kotečného svazku je zobrazení

které každému bodu variety přiřazuje jeden kovektor z kotečného prostoru a splňuje podmínku

Řez kotečného svazku se nazývá kovektorové pole. Hladké kovektorové pole je zároveň diferenciální formou stupně 1.

Množina všech hladkých řezů kotečného svazku se obvykle značí

Kovektorová pole a diferenciální formy hrají významnou roli v diferenciální geometrii, teorii integrace na varietách a matematické formulaci fyzikálních teorií.

Příklady

Diferenciál skalárního pole Je-li hladká funkce, pak její diferenciál je řezem kotečného svazku. Každému bodu variety přiřazuje kovektor, který popisuje změnu funkce v okolí daného bodu.

Elektromagnetický čtyřpotenciál V elektrodynamice lze elektromagnetický čtyřpotenciál chápat jako kovektorové pole na časoprostoru, tedy jako řez kotečného svazku. Jeho vnější derivace určuje Faradayův tenzor elektromagnetického pole

Tento geometrický popis tvoří základ moderní formulace klasické elektrodynamiky a obecné teorie relativity.

Odkazy

reference

Související pojmy Vektorový svazek Tečný svazek

Kategorie:Diferenciální geometrie