Projekce vláknového prostoru je zobrazení, které každému bodu celkového prostoru přiřazuje odpovídající bod báze vláknového prostoru. Projekce je základní součástí definice vláknového prostoru a určuje vztah mezi bází, vlákny a celkovým prostorem.
Je-li celkový prostor, báze a projekce, zapisuje se vláknový prostor obvykle ve tvaru
Projekce převádí každý bod celkového prostoru na bod báze, nad kterým leží. Množina všech bodů celkového prostoru, které se projekcí zobrazí do téhož bodu báze , tvoří vlákno nad bodem . Vlákno lze zapsat jako
Projekce je surjektivní zobrazení, protože každý bod báze je obrazem alespoň jednoho bodu celkového prostoru.
V diferenciální geometrii bývá bází nejčastěji diferencovatelná varieta . Například u tečného svazku
projekce každému tečnému vektoru přiřazuje bod variety, ve kterém je tento vektor definován.
Vztah k vláknům Projekce rozkládá celkový prostor na jednotlivá vlákna. Všechny body jednoho vlákna se projekcí zobrazí do stejného bodu báze. Vlákna tak představují přirozené rozdělení celkového prostoru na navzájem disjunktní podmnožiny.
Z geometrického hlediska lze projekci chápat jako zobrazení, které „zapomíná“ polohu bodu uvnitř vlákna a zachovává pouze odpovídající bod báze. V případě triviálního svazku
je projekce dána předpisem
Projekce tedy zachovává první složku uspořádané dvojice a druhou složku ignoruje.
Vztah k řezu
Řez vláknového prostoru je zobrazení
které každému bodu báze přiřazuje jeden bod příslušného vlákna. Projekce a řez jsou navzájem svázány podmínkou
kde označuje identické zobrazení na bázi .
To znamená, že projekce každého bodu vybraného řezem vrací původní bod báze. Řez je proto pravou inverzí projekce.
Zatímco projekce převádí všechny body jednoho vlákna na jediný bod báze, řez naopak z každého vlákna vybírá právě jeden jeho bod. Projekce tak „zapomíná“ informaci o poloze uvnitř vlákna, zatímco řez tuto informaci znovu jednoznačně určuje.
Řezy hrají důležitou úlohu v diferenciální geometrii a matematické fyzice. Například vektorové pole je řezem tečného svazku, diferenciální forma je řezem kotečného svazku a tenzorové pole je řezem příslušného tenzorového svazku.
Příklady
Triviální svazek
Nejjednodušším příkladem vláknového prostoru je triviální svazek
kde je báze a typické vlákno. Projekce je v tomto případě dána předpisem
Projekce tedy zachovává první složku uspořádané dvojice a druhou složku ignoruje. Vlákno nad bodem je množina
Tečný svazek
Důležitým příkladem z diferenciální geometrie je tečný svazek, kde bází je diferencovatelná varieta
Body celkového prostoru jsou tečné vektory variety. Projekce každému tečnému vektoru přiřazuje bod variety, ve kterém je tento vektor definován.
Pro bod je vlákno
tj. tečný prostor variety v bodě .
Tečný svazek je základním příkladem vektorového svazku. Vektorové pole na varietě lze chápat jako řez tečného svazku, který každému bodu variety přiřazuje jeden tečný vektor.
Odkazy Reference
Související články Vektorový svazek Vektorové pole Tečný svazek Triviální svazek
Externí odkazy
Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Multilineární algebra Kategorie:Algebra