Izotropní tenzor je v tenzorovém počtu takový tenzor, jehož složky se nemění při libovolné rotaci souřadnicové soustavy. V Eukleidovském prostoru to znamená, že tenzor je invariantní vůči všem transformacím z grupy ortogonálních transformací (nebo ).
Izotropní tenzory hrají klíčovou roli v mechanice kontinua (zejména v teorii elasticity pro izotropní materiály), reologii a obecné relativitě.
Klasifikace podle řádu
Vlastnosti izotropních tenzorů závisí na jejich řádu (stupni):
Nultý řád (skaláry) Všechny skaláry jsou z definice izotropní, protože jejich hodnota nezávisí na orientaci souřadnicových os.
První řád (vektory) Neexistuje žádný nenulový izotropní vektor v -rozměrném prostoru (pro ), protože každý nenulový vektor definuje preferovaný směr, který se při rotaci mění.
Druhý řád Každý izotropní tenzor druhého řádu musí být násobkem Kroneckerova delta . V maticovém vyjádření jde o násobky jednotkové matice:
kde je skalár.
Třetí řád V třírozměrném prostoru je jediným izotropním tenzorem třetího řádu (vzhledem k rotacím ) násobek Levi-Civitova symbolu :
Tento tenzor je pseudotenzorem, protože při zrcadlení mění znaménko.
Čtvrtý řád Obecný izotropní tenzor čtvrtého řádu lze vyjádřit jako lineární kombinaci tří základních izotropních struktur:
Tento tvar je klíčový pro zápis Hookova zákona v lineární elasticitě pro izotropní materiály, kde se koeficienty vyjadřují pomocí Laméových parametrů.
Význam ve fyzice V teorii elasticity se izotropní tenzory používají k popisu materiálů, jejichž fyzikální vlastnosti (např. tuhost) jsou ve všech směrech stejné. Tenroz tuhosti pak musí být izotropním tenzorem čtvrtého řádu, což redukuje počet nezávislých elastických konstant z 21 (pro obecný anizotropní materiál) na pouhé dvě. Odkazy Literatura
Související články Tenzor Kroneckerovo delta Levi-Civitův symbol Izotropie
Kategorie:Teoretická mechanika