Teorie aproximace je odvětví matematické analýzy a numerické matematiky, které se zabývá nahrazováním složitých matematických objektů (nejčastěji funkcí) jednoduššími a prakticky zpracovatelnými ekvivalenty s kontrolovatelnou přesností. Cílem je najít aproximaci, která je dostatečně jednoduchá pro výpočty nebo analýzu, ale zároveň dostatečně věrná původnímu objektu pro danou aplikaci.Charles K. Chui, Approximations and Expansions, Editor(s): Robert A. Meyers, Encyclopedia of Physical Science and Technology (Third Edition), Academic Press, 2003, Pages 581-607, , https://doi.org/10.1016/B0-12-227410-5/00026-0. (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B0122274105000260)
Aproximace má zásadní význam v numerických metodách, počítačové grafice, zpracování signálu, strojovém učení a mnoha dalších oblastech vědy a inženýrství.
Historie Kořeny teorie aproximace sahají do 19. století a jsou spjaty s pracemi klíčových matematiků.
Pafnutij Lvovič Čebyšev položil základy teorie nejlepší aproximace funkcí polynomy v 50. letech 19. století. Zavedl koncept minimax aproximace, kde se minimalizuje maximální odchylka. Karl Weierstrass dokázal svůj slavný aproximační teorém (1885), který stanoví, že libovolnou spojitou funkci na uzavřeném intervalu lze rovnoměrně aproximovat posloupností polynomů.
20. století přineslo rozvoj teorie do mnoha směrů: Sergej Natanovič Bernštejn pracoval na konstruktivních důkazech Weierstrassovy věty a teorii polynomiální aproximace. Jako samostatná disciplína se teorie aproximace plně ustálila po založení specializovaného časopisu Journal of Approximation Theory v roce 1968.
Základní koncepty a definice Aproximační problém je obecně formulován následovně: je dána funkce z nějakého prostoru funkcí (např. spojité funkce na intervalu) a podprostor jednodušších funkcí (např. polynomů daného stupně). Cílem je najít funkci , která je „nejbližší“ podle zvoleného kritéria.Achijezov, N.I. (Akchiezer): Theory of Approximation. Dover, 2013 (pův. 1956). Dostupné pod . Toto je klasický a stále často citovaný text v oboru.
Klíčové pojmy Prostor funkcí : Množina funkcí, které chceme aproximovat (např. – spojité funkce na intervalu ). Timan, A.F.: Theory of Approximation of Functions of a Real Variable. Elsevier, 2014 (pův. 1963). Dostupné pod .
Aproximační podprostor : Množina jednoduchých funkcí používaných pro aproximaci (např. polynomy stupně nejvýše n, trigonometrické polynomy, splajny).
Norma a míra chyby: Chyba aproximace se měří pomocí normy na prostoru X. Volba normy určuje typ aproximace.
Supremová norma . Minimalizace této normy vede k nejlepší uniformní (Čebyševově) aproximaci.
Kvadratická norma . Minimalizace vede k aproximaci metodou nejmenších čtverců.
Nejlepší aproximace: Funkce , která minimalizuje zvolenou normu chyby ze všech funkcí
Weierstrassův aproximační teorém: Každou spojitou funkci na uzavřeném intervalu lze libovolně přesně uniformně aproximovat posloupností algebraických polynomů.
Typy a metody aproximace Aproximační metody se liší podle zvoleného podprostoru a použité normy.
Uniformní (Čebyševova/nejlepší) aproximace Cílem je minimalizovat maximální absolutní odchylku na intervalu. Pro polynomiální aproximaci platí:
Alternační teorém (Čebyšev): Polynom stupně nejvýše je nejlepší uniformní aproximací funkce , právě když chybová funkce nabývá alespoň v bodech intervalu svého maxima v absolutní hodnotě s střídajícími se znaménky.
Remezův algoritmus: Efektivní iterační algoritmus pro konstrukci nejlepší uniformní polynomiální aproximace na základě alternačního teorému.
Středně kvadratická aproximace Cílem je minimalizovat integrál čtverce odchylky. Tento přístup často vede na řešení soustavy lineárních rovnic.
Ortogonální projekce v Hilbertově prostoru.
Speciálním případem je aproximace trigonometrickými polynomy, která úzce souvisí s Fourierovými řadami.
Interpolace Jedná se o speciální případ aproximace, kdy aproximující funkce musí přesně procházet všemi zadanými body. Mezi běžné metody patří Lagrangeova a Newtonova interpolace (polynomiální).
Interpolace splajny (po částech polynomiální funkce s požadavky na hladkost), která je stabilnější než vysokostupňová polynomiální interpolace.
Aproximace racionálními funkcemi Některé funkce (zejména se singularitami nebo rychlým růstem/úbytkem) lze efektivněji aproximovat podílem dvou polynomů než samotnými polynomy.
Aplikace Teorie aproximace má mnoho praktických aplikací: Numerické výpočty a matematické knihovny: Základní transcendentní funkce (sin, cos, exp, log) jsou v počítačích vyhodnocovány pomocí polynomiálních nebo racionálních aproximací, často implementovaných na úrovni hardware. Zpracování signálu a obrazu: Komprese dat (JPEG, MP3) využívá aproximace signálu pomocí malého počtu významných komponent (např. z Fourierovy nebo vlnkové báze). Počítačová grafika a CAD: Křivky (Bezierovy, B-spline) a plochy používané pro modelování jsou založeny na polynomiální a splajnové aproximaci. Aproximační algoritmy v informatice: Pro řešení NP-těžkých optimalizačních úloh (např. problém obchodního cestujícího) se konstruují efektivní algoritmy, které najdou řešení s garantovanou odchylkou od optima. Strojové učení: Umělé neuronové sítě jsou v principu univerzálními aproximátory spojitých funkcí. Řešení diferenciálních rovnic: Metody konečných prvků a spektrální metody jsou založeny na aproximaci řešení v konečněrozměrných podprostorech.
Související články Interpolace Čebyševovy polynomy Fourierova řada Splajn Remezův algoritmus Aproximační algoritmus Polynom Numerická matematika
Reference
Literatura Achiezer (Akhiezer), N.I. (2013) . Theory of approximation. Dover. ISBN 978-0-486-15313-1. Cheney, E.W. (1966). Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill. Powell, M.J.D. (1981). Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press. "Approximation theory". In: Encyclopedia of Mathematics. European Mathematical Society. "Approximation algorithm". In: Encyclopedia of Algorithms. Springer. "Approximation Theory". In: Journal of Approximation Theory (oficiální web časopisu).
Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Aproximace