náhled|300px|Diagram Eulerových úhlů vytyčených mezi osami dvou systémů souřadnic , a průsečnice . náhled|250px|Obecná rotace tělesa docílená Eulerovou konstrukcí. Otáčení probíhají okolo os (z,x,z) v pořadí . náhled|250px|Kardanovy úhly (3-2-1) při popisu orientace letadla. Od Eulerových úhlů se liší v definici precesního úhlu a také pořadím rotací. Eulerovy úhly označují sadu tří úhlů, které se hojně používají pro popis otáčení pevných těles v prostoru. Eulerovy úhly v dnešním znění poprvé zavedl Leonhard Euler roku 1738.

Úhly se nazývají rotační , precesní a nutační jako na obrázku. Jejich definice umožňuje přímou interpretaci jako postupné rotace kolem jednotlivých os. Volba os není jednoznačná a je tak možné setkat se s různými definicemi. Nicméně v moderní literatuře jsou pod Eulerovými úhly myšleny úhly rotace kolem třetí, první a opět třetí osy, což je konvence značená (3-1-3) nebo (z-x-z). Touto definicí se řídí široká fyzikální literatura a tento článek. V inženýrských odvětvích je často používanou definicí také konvence s rotacemi okolo třetí, druhé a první osy značená jako (3-2-1) neboli (z-y-x).

Obecnější zavedení Eulerových úhlů se řídí konvencí, kdy první a třetí otočení probíhá okolo stejé osy. Takových možností je celkem 6: (z-x-z), (z-y-z), (y-z-y), (y-x-y), (x-z-x), (x-y-x)

Pro konvence, kde se všechny osy liší je opět 6 možností. Pro takové se používá označení Kardanovy úhly (podle Gerolama Cardana) či Taitovy-Bryanovy úhly podle Petera Taita a George Hartleye. Z nich nejširší uplatnění nalézá konvence (3-2-1) v letectví.

Konstrukce a maticový popis Pro dva navzájem otočené souřadnicové systémy a jsou Eulerovy úhly sevřené mezi osami v následující tabulce. Pro konstrukci je vhodné si dodefinovat průsečnici mezi rovinami a .

+Konstrukce Eulerových úhlůNázevSymbolPříslušné osyRotace kolem osyRozsahrotaceprecesenutace

Alternativně se dají Eulerovy úhly zavést pomocí představy pohybu. Pro systém souřadnic a druhý systém , který je libovolným způsobem otočený vůči tomu prvnímu se Eulerovy úhly zavádějí tak, aby se souřadnice převedly na čárkované pomocí tří rotací kolem tří různých os (druhý obrázek).

Původní souřadnice se nejprve otočí kolem osy o rotační úhel . Následně se souřadnice otočí kolem nově zrotované osy o nutační úhel . Nakonec se kolem osy (která již je na svém místě) souřadnice otočí o precesní úhel . Takovou konstrukcí lze pro různě velké Eulerovy úhly dosáhnout libovolného prostorového otočení mezi souřadnicovými systémy.

Jednotlivé úhly lze interpretovat tak, že definují polohu a orientaci praporku na povrchu koule. Nutační úhel určuje sklon od vertikální osy („zeměpisnou šířku"), je „zeměpisná délka" a značí vlastní rotaci praporku kolem své osy.

Otáčení okolo os je možné reprezentovat pomocí matic. B=

Matice celkového otočení je pak násobkem matic ve stejném pořadí (zleva), v jakém se aplikují rotace. Po roznásobení se z této maticové rovnosti dá získat vzorec pro transformaci souřadnic z do pro obecné hodnoty Eulerových úhlů.

Použití Kromě přímého použití Eulerových úhlů jako zobecněných souřadnic v klasické mechanice se s nimi lze setkat i v astronomii při popisu sklonu oběžných drah. Dále pak slouží k budování dalších matematických vztahů, které umožňují efektivně používat Lagrangeovskou machaniku na rotující tělesa.

Eulerovy kinematické rovnice Pomocí Eulerových úhlů lze přímočaře převádět úhlové rychlosti mezi navzájem otočenými systémy. Vztahy, které popisují převod z Eulerových úhlů na úhlové rychlosti kolem os kartézských souřadnic se nazývají Eulerovy kinematické rovnice. Nechť se úhlové rychlosti kolem původních os značí , pak platí , , .

Tyto vzorce lze odvodit z projekcí derivací Eulerových úhlů do souřadnicových os . Rotace kolem každé z os je součtem jednotlivých projekcí do příslušné osy. , kde a ze základní trigonometrie je možné získat jednotlivé projekce.

Stejou sadu kinematických rovnic je možné získat i maticově pomocí součtu rychlostí. Když jsou rychlosti Eulerových úhlů známé , stačí rychlosti převést do stejného souřadnicového systému. Problém s převáděním mezi různými systémy vzniká tím, že rotace kolem os jsou ovlivněny všemi ostatními rotacemi, které byly provedeny po nich. Například rotace způsobená maticí (výše) je provedena jako první a tak je třeba bázi, ve které je provedena, převést na výslednou bázi pomocí obou následujících otočení (maticemi ).

Osy stability letadla Osy stability ledadla jsou směry používané v letectví pro popis náklonu letounu. V letecké terminologii a kosmonautice jsou nejoblíbenější sadou Eulerovy úhly v osách (3-2-1). Tyto úhly se nazývají klonění, klopení a bočení (v tomto pořadí).

Nevýhody Hlavní nevýhodou, kterou použití Eulerových úhlů přináší je, že obsahují singulární bod. Pokud je rotace v nutačním úhlu rovna nebo , orientace tělesa již není Eulerovými úhly popsána jednoznačně. Rotační a precesní úhly v takovém případě splývají (mají stejné osy rotace). Výsledná orientace tělesa je pak popsána pouze pomocí dvojice čísel: nutační úhel a součet rotačního a precesního úhlu. Taková situace se nazývá kardanový zámek a může vést jak k mechanickým, tak i programátorským obtížím.

Alternativy Kvaterniony Dalším možným popisem je kvaternionový popis rotací, který využívá 4 Eulerovy parametry (kvaterniony). Použití čtyř parametrů znamená, že jeden z parametrů je nadbytečný. Výhodou je, že nejsou singulární a navíc splňují normovací podmínku, která odebírá přebytečný stupeň volnosti. Předpisy pro parametry jsou

Schaub, str. 103-112, kde má stejný význam jako nutační úhel a jsou souřadnice jednotkového vektoru, který určuje směr. Zároveň platí a tudíž z vlastností trigonometrických funkcí platí . Vektor je tak normovaný a v kvaternionech se jedná o verzor.

Rodriguezovy parametry Další alternativou je použití Rodriguezových parametrů, kterých je minimální počet (tři), ale opět vytvářejí singularitu pro některé hodnoty úhlů. Jsou definovány pomocí vynucené normalizace kvaternionů. Schaub, str. 112-121

Odkazy Poznámky

Reference

Literatura

Související články Kardanův závěs Stabilita letadla

Externí odkazy

Kategorie:Mechanika